Normalisierung
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Exercise:
Die Eigenzustände für ein Teilchen im unlichen Potentialtopf sind gegeben durch die Wellenfunktionen psi_nxt Asink_n x e^-iomega_n t Zeigen Sie dass die Wellenfunktionen mit der Amplitude A sqrtfracL normalisiert sind d.h. dass _^L|psi_nxt|^textrmdx gilt.
Solution:
_^L|psi_nxt|^textrmdx _^L|Asink_n x e^-iomega_n t|^ textrmdx _^L|A|^sin^k_n x |e^-iomega_n t|^ textrmdx |A|^ _^L sin^k_n xtextrmdx wobei wir verwet haben dass e^iphi ein Einheitsvektor in der komplexen Ebene ist. vspacemm Mit der Identität sin^phi fracleft-cos phiright kann das Integral geschrieben werden als dots frac|A|^ _^L left-cos k_n xright textrmdx frac|A|^ left _^L textrmdx -_^L cos k_n x textrmdx right frac|A|^ L-frac|A|^ k_n sin k_n xBig|_^L frac|A|^L-frac|A|^ k_nsink_n xBig|_^L Die Sinusfunktion hat Nullstellen bei und bei L gemäss Definition von k_n daher verschwindet der zweite Term. Die Normalisierungsbedingung kann geschrieben werden als frac|A|^L Longrightarrow |A|^ fracL Die Amplitude A ist eine komplexe Zahl mit |A| sqrtfracL
Die Eigenzustände für ein Teilchen im unlichen Potentialtopf sind gegeben durch die Wellenfunktionen psi_nxt Asink_n x e^-iomega_n t Zeigen Sie dass die Wellenfunktionen mit der Amplitude A sqrtfracL normalisiert sind d.h. dass _^L|psi_nxt|^textrmdx gilt.
Solution:
_^L|psi_nxt|^textrmdx _^L|Asink_n x e^-iomega_n t|^ textrmdx _^L|A|^sin^k_n x |e^-iomega_n t|^ textrmdx |A|^ _^L sin^k_n xtextrmdx wobei wir verwet haben dass e^iphi ein Einheitsvektor in der komplexen Ebene ist. vspacemm Mit der Identität sin^phi fracleft-cos phiright kann das Integral geschrieben werden als dots frac|A|^ _^L left-cos k_n xright textrmdx frac|A|^ left _^L textrmdx -_^L cos k_n x textrmdx right frac|A|^ L-frac|A|^ k_n sin k_n xBig|_^L frac|A|^L-frac|A|^ k_nsink_n xBig|_^L Die Sinusfunktion hat Nullstellen bei und bei L gemäss Definition von k_n daher verschwindet der zweite Term. Die Normalisierungsbedingung kann geschrieben werden als frac|A|^L Longrightarrow |A|^ fracL Die Amplitude A ist eine komplexe Zahl mit |A| sqrtfracL