Exercise:
Berechne die Umlaufdauer der präzedieren Erdachse. Benutze dabei dass die Erdachse gegenüber der Ekliptik um ang. geneigt ist und berücksichtige sowohl Einflüsse von Sonne wie auch Mond.

Solution:
Die Situation ist in folger Skizze dargestellt Radien von Sonne Mond und Erde sowie deren Abstände selbstverständlich nicht massstabgetreu: center tikzpicturescale. latex pgftransformrotat. filldrawcolorblack fillblue! opacity circle .cm and cm; pgftransformrotate. filldrawdashed colorblack fillblue!!white circle ; drawdashed --.; drawdashed --; node at . Ekliptik; drawdashed .--; filldrawfillyellow coloryellow circle ; node at Sonne; pgftransformrotat. draw -.--.; drawdotted .--.; node at star; %drawthick- blue -.. arc -::.; pgftransformrotate. node at .. Polarstern; drawdashed . ellipse. and .; %kräftepfeile rot sonne drawthick- colorred .-.--.-.; nodecolorred at .-. F_; nodecolorred at -.. F_; drawthick- colorred -.+.---.+.; %kräftepfeile grün mond drawthick- colorgreen!!black .-.--.-.; nodecolorgreen!!black at .-. F_; nodecolorgreen!!black at -.. F_; drawthick- colorgreen!!black -.+.---.+.; filldrawcolorblack fillblack!!white -- arc :.: -- cycle; filldrawcolorblack fillblack!!white -- . arc :.:. -- cycle; node at .. theta; pgftransformrotate. drawdashed ---; filldrawfillwhite!!black - circle .; tikzpicture center Folges muss man wissen: Die Erde ist keine perfekte Kugel sondern aufgrund ihrer Rotation etwas abgeplattet sie ist also ein Ellipsoid wie gezeichnet. Das heisst es hat auf beiden Seiten Wulste dunkelblau. Auf diese Wulste wirken aufgrund der Gravitation Kräfte. Die beiden roten Pfeile zeigen die Anziehung der Sonne; der untere Wulst wird etwas stärker angezogen als der obere weil er näher zur Sonne ist d.h. F_F_. Das durch diese beiden Kräfte bewirkte resultiere Drehmoment wirkt im Gegenuhrzeigersinn; es tiert also dazu die Erde aufzustellen d.h. ihre Rotationsachse in eine Position rechwinklig zur Ekliptik zu drehen. Genau dieselbe Wirkung hat der Mond auf die beiden Wulste wie man sich analog überlegen kann. Auch er würde durch sein bewirktes Drehmoment die Erde aufstellen wollen siehe grüne Pfeile F_F_. Man kann sich leicht überlegen dass die Drehmomente unabhängig von der Stellung von Sonne und Mond immer denselben Effekt haben: Sie wollen die Erde aufrichten -- auch wenn beispielsweise Sonne und Mond auf derselben Seite der Erde sind. Diese beiden Effekte überlagern sich und werden im Folgen berechnet. Insgesamt wirken also -- vereinfacht -- vier Drehmomente auf die Erde: tilde M _i_^ r_i F_i rsheta F_-F_+F_-F_ rsheta leftGfracM_SunIndexma_^ -GfracM_SunIndexma_^+GfracM_MoonIndexma_^ -GfracM_MoonIndexma_^right rsheta Gm leftM_SunIndexleftfracR_SunIndexEarthIndex-r^-fracR_SunIndexEarthIndex+r^right+M_MoonIndexleftfracR_EarthIndexMoonIndex-r^-fracR_EarthIndexMoonIndex+r^rightright rsheta Gm leftM_SunIndexfracR_SunIndexEarthIndex+r^-R_SunIndexEarthIndex-r^R_SunIndexEarthIndex-r^R_SunIndexEarthIndex+r^+M_MoonIndexfracR_EarthIndexMoonIndex+r^-R_EarthIndexMoonIndex-r^R_EarthIndexMoonIndex-r^R_EarthIndexMoonIndex+r^right rsheta Gm leftM_SunIndex frac R_SunIndexEarthIndexr R_SunIndexEarthIndex^+r^^ +M_MoonIndex frac R_EarthIndexMoonIndexr R_EarthIndexMoonIndex^+r^^right &approx rsheta Gm leftM_SunIndexfracrR_SunIndexEarthIndex^+M_MoonIndexfracrR_EarthIndexMoonIndex^right r^sheta Gm leftfracM_SunIndexR_SunIndexEarthIndex^+fracM_MoonIndexR_EarthIndexMoonIndex^right r^sheta Gm fracM_SunIndexR_SunIndexEarthIndex^ left+.right Hier müssen wir noch einen weiteren Faktor in diese letzte Beziehung für das Drehmoment rericksen: Da der Wulst über die Erde verteilt ist wirken die Drehmomente der verschiedenen korrespondieren Massen wie z.B. F_ und F_ bzw. F_ und F_ nicht gleich stark. Ausserdem muss über den Neigungswinkel gemittelt werden. Eine genaue Analyse zeigt dass beide Ursachen je das Drehmoment um den Faktor frac verringern: M frac frac r^sheta Gm fracM_SunIndexR_SunIndexEarthIndex^ left+.right r^sheta Gm fracM_SunIndexR_SunIndexEarthIndex^ left+.right Für die Präzessionsgeschwindigkeit der Erdachse gilt vec M vec Omega times vec L. Mit Beträgen geschrieben -- und der Formel |vec a times vec b| |vec a | |vec b| sheta folg -- gilt übertragen auf unsere Situation: |vec M| |vec Omega times vec L| |vec Omega| |vec L| sheta. Daraus folgt: Omega fracML sheta fracMJ omega_EarthIndex sheta fracMJ fracpiT_EarthIndex sheta Da der Erdkern eine grössere Dichte hat als der äussere Mantel ist das Trägheitsmoment der Erdkugel um % kleiner als jenes einer Kugel mit homogener Dichte; daher gilt: Omega fracr^sheta Gm fracM_SunIndexR_SunIndexEarthIndex^ +.. frac M_EarthIndexr^ fracpiT_EarthIndex sheta fracfrac frac+.pi Gm fracM_SunIndexM_EarthIndex fracT_EarthIndexR_SunIndexEarthIndex^ Nun muss man noch berücksichtigen dass der Wulst an der Erde ungefähr die Masse mfracM_EarthIndex hat: Omega fracfrac frac+.pi G fracM_EarthIndex fracM_SunIndexM_EarthIndex fracT_EarthIndexR_SunIndexEarthIndex^ .radianpersecond Für die Umlaufzeit der Präzession findet man so: T fracpiOmega .es a