Exercise:
Berechne die Umlaufdauer der präzedieren Erdachse. Benutze dabei dass die Erdachse gegenüber der Ekliptik um ang. geneigt ist und berücksichtige sowohl Einflüsse von Sonne wie auch Mond.

Solution:
Die Situation ist in folger Skizze dargestellt Radien von Sonne Mond und Erde sowie deren Abstände selbstverständlich nicht massstabgetreu: center tikzpicturescale. latex pgftransformrotat. filldrawcolorblack fillblue! opacity circle .cm and cm; pgftransformrotate. filldrawdashed colorblack fillblue!!white circle ; drawdashed --.; drawdashed --; node at . Ekliptik; drawdashed .--; filldrawfillyellow coloryellow circle ; node at Sonne; pgftransformrotat. draw -.--.; drawdotted .--.; node at star; %drawthick- blue -.. arc -::.; pgftransformrotate. node at .. Polarstern; drawdashed . ellipse. and .; %kräftepfeile rot sonne drawthick- colorred .-.--.-.; nodecolorred at .-. F_; nodecolorred at -.. F_; drawthick- colorred -.+.---.+.; %kräftepfeile grün mond drawthick- colorgreen!!black .-.--.-.; nodecolorgreen!!black at .-. F_; nodecolorgreen!!black at -.. F_; drawthick- colorgreen!!black -.+.---.+.; filldrawcolorblack fillblack!!white -- arc :.: -- cycle; filldrawcolorblack fillblack!!white -- . arc :.:. -- cycle; node at .. theta; pgftransformrotate. drawdashed ---; filldrawfillwhite!!black - circle .; tikzpicture center Folges muss man wissen: Die Erde ist keine perfekte Kugel sondern aufgrund ihrer Rotation etwas abgeplattet sie ist also ein Ellipsoid wie gezeichnet. Das heisst es hat auf beiden Seiten Wulste dunkelblau. Auf diese Wulste wirken aufgrund der Gravitation Kräfte. Die beiden roten Pfeile zeigen die Anziehung der Sonne; der untere Wulst wird etwas stärker angezogen als der obere weil er näher zur Sonne ist d.h. F_F_. Das durch diese beiden Kräfte bewirkte resultiere Drehmoment wirkt im Gegenuhrzeigersinn; es tiert also dazu die Erde aufzustellen d.h. ihre Rotationsachse in eine Position rechwinklig zur Ekliptik zu drehen. Genau dieselbe Wirkung hat der Mond auf die beiden Wulste wie man sich analog überlegen kann. Auch er würde durch sein bewirktes Drehmoment die Erde aufstellen wollen siehe grüne Pfeile F_F_. Man kann sich leicht überlegen dass die Drehmomente unabhängig von der Stellung von Sonne und Mond immer denselben Effekt haben: Sie wollen die Erde aufrichten -- auch wenn beispielsweise Sonne und Mond auf derselben Seite der Erde sind. Diese beiden Effekte überlagern sich und werden im Folgen berechnet. Insgesamt wirken also -- vereinfacht -- vier Drehmomente auf die Erde deren Hebelarme aufgrund der im Vergleich zum Erdradius riesigen Abstände von Sonne und Mond alle gleich gross sind: M _i^ M_i _i^ ell_i F_i _i^ ell F_i rsheta F_-F_+F_-F_ Alle Kräfte sind Gravitationskräfte zwischen zwei Massen; F_ und F_ zwischen Sonne und den enquoteWulsten auf der Erde F_ und F_ zwischen Sonne und diesen: M rsheta leftGfracM_SunIndextilde ma_^ -GfracM_SunIndex tilde ma_^+GfracM_MoonIndextilde ma_^ -GfracM_MoonIndextilde ma_^right rsheta G tilde m leftM_SunIndexleftfracR_SunIndexEarthIndex-r^-fracR_SunIndexEarthIndex+r^right+M_MoonIndexleftfracR_EarthIndexMoonIndex-r^-fracR_EarthIndexMoonIndex+r^rightright rsheta Gtilde m leftM_SunIndexfracR_SunIndexEarthIndex+r^-R_SunIndexEarthIndex-r^R_SunIndexEarthIndex-r^R_SunIndexEarthIndex+r^+M_MoonIndexfracR_EarthIndexMoonIndex+r^-R_EarthIndexMoonIndex-r^R_EarthIndexMoonIndex-r^R_EarthIndexMoonIndex+r^right rsheta Gtilde m leftM_SunIndex frac R_SunIndexEarthIndexr R_SunIndexEarthIndex^+r^^ +M_MoonIndex frac R_EarthIndexMoonIndexr R_EarthIndexMoonIndex^+r^^right r^ sheta Gtilde m leftM_SunIndex frac R_SunIndexEarthIndex R_SunIndexEarthIndex^+r^^ +M_MoonIndex frac R_EarthIndexMoonIndex R_EarthIndexMoonIndex^+r^^right &approx r^ sheta Gtilde m left fracM_SunIndexR_SunIndex^ + fracM_MoonIndex R_EarthIndexMoonIndex^ right Nun verwen wir dass ein Wulst etwa frac der Masse der Erde hat. Da so ein Wulst über die Erde verteilt und nicht im Schwerpunkt konzentriert ist wirken die Drehmomente der verschiedenen korrespondieren Massen wie z.B. F_ und F_ bzw. F_ und F_ nicht gleich stark. Ausserdem muss über den Neigungswinkel gemittelt werden. Eine genaue Analyse zeigt dass das etwa einen Faktor frac ausmacht. M &approx r^sheta G frac frac m left fracM_SunIndexR_SunIndex^ + fracM_MoonIndex R_EarthIndexMoonIndex^ right Weiter können wir nutzen dass fracM_MoonIndex R_EarthIndexMoonIndex^ fracR_SunIndex^M_SunIndex. womit folgt: M &approx r^sheta G frac frac m fracM_SunIndexR_SunIndexEarthIndex^ left+.right frac. mr^GM_SunIndex sheta R_SunIndexEarthIndex^ Da der Erdkern eine grössere Dichte hat als der äussere Mantel ist das Trägheitsmoment der Erdkugel um % kleiner als jenes einer Kugel mit homogener Dichte; daher gilt für den Drehimpuls der Erde: L Jomega . frac mr^ fracpiT frac frac pi fracmr^T fracpi mr^T Für die Präzessionsgeschwindigkeit der Erdachse gilt vec M vec Omega times vec L. Mit Beträgen geschrieben -- und der Formel |vec a times vec b| |vec a | |vec b| sheta folg -- gilt übertragen auf unsere Situation: |vec M| |vec Omega times vec L| |vec Omega| |vec L| sheta. Daraus folgt: SolQtyOm.**ncGn*.e**/**pi*.e^radps SolQtyT*pi/OmXs SolQtyTaTX///a Omega fracML sheta frac frac. mr^GM_SunIndex sheta R_SunIndexEarthIndex^ fracpi mr^T sheta frac. mr^GM_SunIndex sheta T R_SunIndexEarthIndex^ pi mr^ sheta frac. pi fracGM_SunIndexTR_SunIndexEarthIndex^ frac. fracGM_SunIndexTpi R_SunIndexEarthIndex^ Om Für die Umlaufzeit ergibt sich: T fracpiOmega frac. fracpi^ R_SunIndexEarthIndex^GM_SunIndexT T approx Ta