Exercise:
Ein punktförmiger Schlitten ohne Anfangsgeschwindigkeit und totaler Masse m_ kg gleitet reibungsfrei einen Hang der Steigung phi grad hinunter. Auf halber Höhe .h fährt er über eine halbkreisförmige Bodenwelle mit Radius r m vgl. Abb.. center tikzpicturescale. % Hang draw thick gray -- ++ - arc ::. -- ++ - -- ++ .+.; % Radius draw -myarrowgk . -- node left tiny r ++ .*cos.*sin; % Hilfslinien draw densely dashed . -- ++ -.; draw densely dashed . -- ++ -.; % Hoehe draw - -- node left tiny frac h ; draw - -- node left tiny frac h ; % Winkel oben draw -. arc ::.; node at -.. tiny varphi; % Winkel unten draw .-. arc ::.; node at .-.. tiny varphi; % Feder draw very thick .+. -- ++ .; draw fillgraydrawnone .+. rectangle ++ ..; draw thick .+..-. -- ++ -. -- ++ -.. -- ++ -.-.-- ++ -.. -- ++ -.-.-- ++ -.. -- ++ -.-.-- ++ -.. -- ++ -.-.-- ++ -. -- ++ . -- ++ -.; % Punkte P und P draw - .+.+. -- ++ .. node above tiny P_; draw - .+. -- ++ .. node above tiny P_; tikzpicture center enumerate item Der Schlitten startet in der Höhe h. Es stellt sich heraus dass er am höchsten Punkt der Bodenwelle den Bodenkontakt gerade nicht verliert. Berechnen Sie daraus die Starthöhe h. Pkt. item Am Ende des Hügels befindet sich auf horizontaler Ebene eine ideale Feder mit Federkonstante D N/m. Um welche Strecke x wird die Feder maximal zusammengedrückt wenn der Schlitten in der Höhe h gestartet und die Feder zu Beginn entspannt ist? Pkt. item Her der Bodenwelle steht bei einer zweiten Schlittenfahrt am Punkt P_ ein ruher zweiter Schlitten mit der Masse m_ kg. Beim Stoss verkeilen sich die beiden Schlitten ineinander und gleiten gemeinsam weiter. Welche Geschwindigkeit haben beide Schlitten unmittelbar nach dem Stoss? Pkt. item Die beiden Schlitten gleiten die zweite Hälfte des Hangs hinunter wobei sie auf diesem Teil einen Gleitreibungskoeffizienten mu . haben. Welche Geschwindigkeit haben die Schlitten am Ende des Hügels am Punkt P_ falls die Anfangsgeschwindigkeit aus bf c berücksichtigt wird? Pkt. enumerate Bemerkung: Vernachlässigen Sie die Unstetigkeiten am Anfang und Ende der Bodenwelle sowie am Ende des Hanges.

Solution:
enumerate item Damit der Schlitten den Bodenkontakt gerade nicht verliert bedeutet das: F_Res F_g ma_Z Rightarrow mg mfracv^r Rightarrow v sqrtgr.qquadtext Pkt. Die Energiebilanz lautet: E_Tot^A E_pot^A mgh/ equiv mgr + fracmv^ E_pot^E + E_kin^E E_Tot^E.qquadtext Pkt. Mit der Geschwindigkeit v von oben erhalten wir: mgh/ mgr + fracmgr Rightarrow h r m.qquadtext Pkt. item Aus der Energiebilanz finden wir: E_Tot^A E_pot^A mgh equiv fracDx^ E_Fed^E E_Tot^E. Daraus folgt unmittelbar: x sqrtmgh/Dapprox m.qquadtext Pkt. item Aus der Energiebilanz finden wir: E_Tot^A E_pot^A mgh/ equiv fracmv_^ E_kin^E E_Tot^E. Daraus folgt unmittelbar: v_ sqrtgh.qquadtext Pkt. Mittels des Impulserhaltungssatzes lässt sich die gemeinsame Geschwindigkeit v_g bestimmen: m_v_ m_+m_v_g Rightarrow v_g fracm_v_m_+m_ approx ..qquadtext Pkt. item Die Gesamtenergien an den Punkten P_ und P_ sind: E_Tot^ E_pot^+E_kin^ quad textund quad E_Tot^ E_kin^qquadtext/ Pkt. wobei die Energieerhaltung in diesem Fall verletzt ist. Es gilt nämlich: Delta E E_Tot^ - E_Tot^ W_Reib.qquadtext Pkt. Die Reibungsarbeit ist: W_Reib - F_R s wobei s frach/sinphi / Pkt. und F_R mu F_N mu F_gcosphi Pkt.. Setzen wir alles zusammen erhalten wir: fracm_+m_v_^ -m_+m_gh/ - fracm_+m_v_g^ -mu m_+m_gcosphi frach/sinphi und aufgelöst nach v_: v_ sqrtgh+v_g^-mu gh cotphi approx .qquadtext Pkt. enumerate