Exercise:
Gegeben sind zwei Ebenen varepsilon_: a_x + b_y + c_z + D_ und varepsilon_: a_x + b_y + c_z + D_ Die Ebenen können in normalisierter Vektorform folgermassen geschrieben werden: center varepsilon_: y vecN_ vecr + d_ hspacecm varepsilon_: y vecN_ vecr + d_ center Hierbei beträgt footnotesizevecN_ dfraca_ b_ c_^Tsqrta_^ + b_^ + c_^ vecN_ dfraca_ b_ c_^Tsqrta_^ + b_^ + c_^ vecd_ dfracD_sqrta_^ + b_^ + c_^ und vecd_ dfracD_sqrta_^ + b_^ + c_^ vskip.cm Die Schnittgerade dieser Ebenen soll gefunden werden falls sie existiert. vspace.cm centering a_ b_ c_ D_ pgfmathprnumberaone pgfmathprnumberbone pgfmathprnumbercone pgfmathprnumberDone a_ b_ c_ D_ pgfmathprnumberatwo pgfmathprnumberbtwo pgfmathprnumberctwo pgfmathprnumberDtwo vspace.cm tikzpicture axis z buffersort view xminax- xmaxax+ yminay- ymaxay+ zminaz- zmaxaz+ xlabel x ylabel y zlabel z addplot z buffersort colormap/viridis domain-: domain y-: samples samples y surf x * vx + y * Aone + ax x * vy + y * Bone + ay x * vz + y * Cone + az; addplot z buffersort colormap/cool domain-: domain y: samples samples y surf x * vx + y * Atwo + ax x * vy + y * Btwo + ay x * vz + y * Ctwo + az; addplot z buffersort colormap/cool domain-: domain y-: samples samples y surf x * vx + y * Atwo + ax x * vy + y * Btwo + ay x * vz + y * Ctwo + az; addplot z buffersort colormap/viridis domain-: domain y: samples samples y surf x * vx + y * Aone + ax x * vy + y * Bone + ay x * vz + y * Cone + az; addplotdomain-: samples red ax + vx*xay + vy*xaz + vz*x; addplot+ z buffersort scatter/use mapped colorball colorred scatter only marks markball mark sizept ax ay az; axis tikzpicture

Solution:
bf . Schritt: Richtung der Gerade Da alle Punkte einer Schnittgerade auf beiden Ebenen liegen müssen muss die Richtung der Gerade rechtwinklig zu beiden Normalenvektoren sein. Die Richtung der Gerade beträgt also die Richtung des Kreuzproduktes der Normalenvektoren der beiden Ebenen. Hier können auch die nicht normalisierten Normalenvektoren verwet werden. center vecv vecN_ times vecN_ pmatrix pgfmathprnumberVx pgfmathprnumberVy pgfmathprnumberVz pmatrix colorgray dfracsqrta_^ + b_^ + c_^ sqrta_^ + b_^ + c_^ center Entspricht das Kreuzprodukt dem Nullvektor hat es entweder keine Lösung falls die Ebenen parallel sind oder unlich viele Lösungen falls die Ebenen identisch sind. Somit können die nächsten Schritte übersprungen werden. Damit die Ebenen identisch sind muss zusätzlich D_ D_ddfraca_a_ gelten wenn sie jedoch nur parallel sind besteht dieses Verhältnis nicht. tcolorbox tcolorboxfonttitlebfseries title. Schritt: Punkt auf der Gerade colframecyan!!black colbackBoxBackground Da vecN_ vecN_ vecN_ times vecN_ alle linear unabhängig sind bilden sie eine Basis. Daher kann jeder Punkt folgermassen geschrieben werden: center vecr g_vecN_ + g_vecN_ + lambdavecN_ times vecN_ center Dies kann jetzt in die Gleichung für varepsilon_ eingesetzt werden um Folges zu erhalten.: center g_vecN_vecN_ + g_colorredvecN_vecN_colorblack + colorredlambdavecN_ times vecN_ vecN_colorblack + d_ center Dabei fällt vecN_vecN_ weg da das Skalarprodukt eines Einheitsvektors mit sich selber ergibt. lambdavecN_ times vecN_ vecN_ fällt ebenfalls weg da das Kreuzprodukt eines Vektoren mit einem anderen rechtwinklig zu beiden ist das Skalarprodukt also ist. Dasselbe passiert beim Einsetzen in die Gleichung für varepsilon_ center g_ + g_vecN_vecN_ + d_ g_vecN_vecN_ + g_ + d_ center Die untere Gleichung kann jetzt nach g_ aufgelöst und in die erste eingesetzt werden: center g_ + vecN_vecN_-g_vecN_vecN_ - d_ + d_ center Diese kann etwas vereinfacht werden: center g_ - vecN_vecN_^ + d_ - d_vecN_vecN_ center Der von g_ unabhängige Teil kann auf die andere Seite genommen und durch den abhängigen Teil dividiert werden. center g_ ddfracd_vecN_vecN_ - d_ - vecN_vecN_^ approx pgfmathprnumberprecisiongone center Die Formel lautet analog für g_: center g_ ddfracd_vecN_vecN_ - d_ - vecN_vecN_^ approx pgfmathprnumberprecisiongtwo center bf Lösung Die ausgerechneten Werte für g_ und g_ können jetzt in die vorherige Formel eingesetzt werden um den Punkt veca g_vecN_ + g_vecN_ auf der Geraden zu erhalten. Die Richtung vecv der Gerade entspricht wie oben berechnet vecN_ times vecN_. center vecr veca + lambdavecv g_vecN_ + g_vecN_ + lambdavecN_ times vecN_ pmatrix pgfmathprnumberprecisionax pgfmathprnumberprecision pgfmathprnumberprecisionaz pmatrix + lambda pmatrix pgfmathprnumberVx pgfmathprnumberVy pgfmathprnumberVz pmatrix center