Exercise:
Von einem sich pqm über dem Boden befindlichen horizontalen Holzbrett hängt ein Stück eines der Länge nach ausgelegten pqm langen Seiles herunter. Zwischen Seil und Holz wirkt ein Haftreibungskoeffizient von . sowie ein Gleitreibungskoeffizient von .. center tikzpicturelatex %HOLZBRETT filldrawcolorblack fillrgb:red.;green;yellow arc :-:.----. -----cycle; %SEIL drawcolorblack!!white line widthmm -..--. arc::.--.-.; drawcolorblack!!whitedecorate decorationsnake segment length.mm amplitude.mm-..--..; drawcolorblack!!whitedecorate decorationsnake segment length.mm amplitude.mm..--.-.; %GESTELL drawcolorblack!!whiteline widthmm --.---.-.----.---.-.----; drawcolorblack!!whiteline widthmm -.-.----.---.-.----.---.-; drawcolorblack!!whiteline widthmm --.---.-.----.---.-.----; drawcolorblack!!whiteline widthmm -.-.----.---.-.----.---.-; drawcolorblack!!whiteline widthmm -.-.---.-; drawcolorblack!!whiteline widthmm -.-.---.-; drawcolorblack!!whiteline widthmm --.----; drawcolorblack!!whiteline widthmm --.----; %BODEN filldrawcolorgreen!!white fillgreen!!white -- rectangle -.; drawthick colorgreen!!black decorate decorationsnake segment lengthmm amplitude.mm -----; %COORDINATE CROSS drawcolorblack!!green |- .---.; drawcolorblack!!green |- -.---; drawcolorblack!!green - -.----; nodecolorblack!!greenfillwhite rotate at -- pqm; nodecolorblack!!green at . ; nodecolorblack!!green at .-. x_; %nodecolorblack!!green at .- pqm; nodecolorblack!!green at -. xt; drawdotted -.---.; tikzpicture center enumerate itema Berechne wie weit das Seil vom Brett herunter hängen darf damit es gerade nicht anfängt zu rutschen in der Skizze mit x_ bezeichnet. itemb Das Seil erhält nun eine kleine Störung und fängt an zu rutschen. Gib die Position xt des unteren Seiles in Abhängigkeit der Zeit an. Hinweis: Stelle die Bewegungsgleichung des Seiles auf und löse die sich daraus ergebe Differentialgleichung. Die partikuläre Lösung kann durch Raten oder mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten ermittelt werden. itemc Wie lange dauert es bis das herunterhänge Seile den Boden berührt? Die entstehe Gleichung kann z.B. mit der Solver-Funktion des Taschenrechners gelöst werden. enumerate

Solution:
enumerate itema Die durch die Haftreibung hat mu bezeichnet den Haftreibungskoeffizienten gegebene Gleichgewichtslage des Seiles ist: FG FR bar m g hat mu tilde m g mfracx_ell g hat mu mfracell-x_ellg x_ frachatmu+hat mu ell pq.m itemb Die beschleunigte Bewegung des Seils gehorcht bei einer kleinen Störung dem Newton'schen Kraftwirkungsgesetz mu bezeichnet den Gleitreibungskoeffizienten: mddot x F mddot x mfracxellg-mu m fracell-xell g ddot x fracgellx-mu g +mu fracgell x ddot x - fracgell+mu x -mu g labeldgl Das ist eine inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die Lösung der homogenen Differentialgleichung über den Ansatz einer charakteristischen Gleichung r^-fracgell+mu r pm sqrtfracgell+mu pm sqrtfracpq.qpqm+. pm pq.s^- führt auf x_ht c_ texte^+rt+c_texte^-rtquadtextbzw. x_ht hat x_ coshrt+c Eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL ist einfach gefunden: x_p fracmu gr^ fracmu+mu ell löst die Gleichung refdgl wie man durch einfaches Einsetzen sieht. Somit ist die allgemeine Lösung der DGL refdgl: xt c_texte^+rt+c_texte^-rt + fracmu+mu ell hat x_ coshrt+c + fracmu+mu ell Nun gelten die folgen Anfangsbedingungen mit welchen die Konstanten x_ und c bestimmt werden können: x hat x_ + fracmu+mu ell c_+c_ + fracmu+mu ell &mustbe frachatmu+hat mu ell quad textsowie dot x c_r-c_r rhat x_ sinhrt+c &mustbe Die zweite ist einfach erfüllt es folgt c. Die erste ist leicht komplizierter; man erhält hat x_ leftfrachatmu+hat mu-fracmu+muright ell leftnumpr.-numpr.right ell numpr. ell pq.m itemc Das Seil berührt den Boden wenn: xt pq.m lefttexte^+.t + texte^-.tright+ pq.m pq.m coshrt + pq.m &mustbe pq.m coshrt numpr. rt operatornamearcoshnumpr. numpr. t fracnumpr.pq.s^- pq.s enumerate