Teorema di Weierstrass 1
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
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Exercise:
Considera la successione definita in modo ricorsivo da x_qquad x_nfracleft+x_n-rightquad ngeq . Verifica che la successione è crescente limitata superiormente da e calcolane il limite.
Solution:
Abbiamo che x_frac+x_ dunque l'inizio è corretto. Asiamo ora che la successione sia strettametne crescente per tutti i valori più piccoli di n. Allora abbiamo che x_n-x_n-frac+x_n--frac+x_n-fracx_n--x_n- in cui l'ultimo passagggio è garantito dall'ipotesi di induzione dunque abbiamo dimostrato che la successione è crescente. Per quanto riguarda il fatto che è minore di lo dimostriamo nuovamente per induzione. È vero per n infatti x_. Ora asiamo che sia vero per tutti i valori inferiori ad n allora lo è anche per n: x_nfrac+x_n-frac+frac. Sappiamo che il limite sarà un punto fisso della ricorsione dunque risolviamo x_inftyfracleft+x_inftyrightiff x_infty+x_inftyiff x_inftyfrac.
Considera la successione definita in modo ricorsivo da x_qquad x_nfracleft+x_n-rightquad ngeq . Verifica che la successione è crescente limitata superiormente da e calcolane il limite.
Solution:
Abbiamo che x_frac+x_ dunque l'inizio è corretto. Asiamo ora che la successione sia strettametne crescente per tutti i valori più piccoli di n. Allora abbiamo che x_n-x_n-frac+x_n--frac+x_n-fracx_n--x_n- in cui l'ultimo passagggio è garantito dall'ipotesi di induzione dunque abbiamo dimostrato che la successione è crescente. Per quanto riguarda il fatto che è minore di lo dimostriamo nuovamente per induzione. È vero per n infatti x_. Ora asiamo che sia vero per tutti i valori inferiori ad n allora lo è anche per n: x_nfrac+x_n-frac+frac. Sappiamo che il limite sarà un punto fisso della ricorsione dunque risolviamo x_inftyfracleft+x_inftyrightiff x_infty+x_inftyiff x_inftyfrac.
Meta Information
Exercise:
Considera la successione definita in modo ricorsivo da x_qquad x_nfracleft+x_n-rightquad ngeq . Verifica che la successione è crescente limitata superiormente da e calcolane il limite.
Solution:
Abbiamo che x_frac+x_ dunque l'inizio è corretto. Asiamo ora che la successione sia strettametne crescente per tutti i valori più piccoli di n. Allora abbiamo che x_n-x_n-frac+x_n--frac+x_n-fracx_n--x_n- in cui l'ultimo passagggio è garantito dall'ipotesi di induzione dunque abbiamo dimostrato che la successione è crescente. Per quanto riguarda il fatto che è minore di lo dimostriamo nuovamente per induzione. È vero per n infatti x_. Ora asiamo che sia vero per tutti i valori inferiori ad n allora lo è anche per n: x_nfrac+x_n-frac+frac. Sappiamo che il limite sarà un punto fisso della ricorsione dunque risolviamo x_inftyfracleft+x_inftyrightiff x_infty+x_inftyiff x_inftyfrac.
Considera la successione definita in modo ricorsivo da x_qquad x_nfracleft+x_n-rightquad ngeq . Verifica che la successione è crescente limitata superiormente da e calcolane il limite.
Solution:
Abbiamo che x_frac+x_ dunque l'inizio è corretto. Asiamo ora che la successione sia strettametne crescente per tutti i valori più piccoli di n. Allora abbiamo che x_n-x_n-frac+x_n--frac+x_n-fracx_n--x_n- in cui l'ultimo passagggio è garantito dall'ipotesi di induzione dunque abbiamo dimostrato che la successione è crescente. Per quanto riguarda il fatto che è minore di lo dimostriamo nuovamente per induzione. È vero per n infatti x_. Ora asiamo che sia vero per tutti i valori inferiori ad n allora lo è anche per n: x_nfrac+x_n-frac+frac. Sappiamo che il limite sarà un punto fisso della ricorsione dunque risolviamo x_inftyfracleft+x_inftyrightiff x_infty+x_inftyiff x_inftyfrac.
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