Exercise
https://texercises.com/exercise/teorema-di-weierstrass-1/
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Exercise:
Considera la successione definita in modo ricorsivo da x_qquad x_nfracleft+x_n-rightquad ngeq . Verifica che la successione è crescente limitata superiormente da e calcolane il limite.

Solution:
Abbiamo che x_frac+x_ dunque l'inizio è corretto. Asiamo ora che la successione sia strettametne crescente per tutti i valori più piccoli di n. Allora abbiamo che x_n-x_n-frac+x_n--frac+x_n-fracx_n--x_n- in cui l'ultimo passagggio è garantito dall'ipotesi di induzione dunque abbiamo dimostrato che la successione è crescente. Per quanto riguarda il fatto che è minore di lo dimostriamo nuovamente per induzione. È vero per n infatti x_. Ora asiamo che sia vero per tutti i valori inferiori ad n allora lo è anche per n: x_nfrac+x_n-frac+frac. Sappiamo che il limite sarà un punto fisso della ricorsione dunque risolviamo x_inftyfracleft+x_inftyrightiff x_infty+x_inftyiff x_inftyfrac.
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Exercise:
Considera la successione definita in modo ricorsivo da x_qquad x_nfracleft+x_n-rightquad ngeq . Verifica che la successione è crescente limitata superiormente da e calcolane il limite.

Solution:
Abbiamo che x_frac+x_ dunque l'inizio è corretto. Asiamo ora che la successione sia strettametne crescente per tutti i valori più piccoli di n. Allora abbiamo che x_n-x_n-frac+x_n--frac+x_n-fracx_n--x_n- in cui l'ultimo passagggio è garantito dall'ipotesi di induzione dunque abbiamo dimostrato che la successione è crescente. Per quanto riguarda il fatto che è minore di lo dimostriamo nuovamente per induzione. È vero per n infatti x_. Ora asiamo che sia vero per tutti i valori inferiori ad n allora lo è anche per n: x_nfrac+x_n-frac+frac. Sappiamo che il limite sarà un punto fisso della ricorsione dunque risolviamo x_inftyfracleft+x_inftyrightiff x_infty+x_inftyiff x_inftyfrac.

Attributes & Decorations
Tags
Successioni e serie, Teorema di Weierstrass
Difficulty
(1, default)
Points
0 (default)
Language
ITA (Italiano)
Type
Calculative / Quantity
Decoration
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