Exercise:
Aus Mauersteinen der Länge L soll ein möglichst weiter Torbogen gebaut werden. Wie weit wird er maximal?

Solution:
Stell dir vor die Mauersteine werden auf einem Tisch gestapelt. Sie müssen so gestapelt werden dass ihr gemeinsamer Schwerpunkt über der Tischkante liegt. Bei einem Stein ist das noch einfach er darf um seine halbe Länge über die Tischkante herausragen: center tikzpicturescale. filldrawcolorblack fillred!!yellow -----.---.--cycle; filldrawcolorred!!black -------.---.--cycle; filldrawcolorblue . circle .; node at .-. fracL; tikzpicture center Der nächste Stein den wir unter dem ersten Stein platzieren muss den oberen Stein natürlich in seinem Schwerpunkt stützen. Der gemeinsame Schwerpunkt der beiden Steine wieder als blauer Punkt eingezeichnet muss vertikal über der Tischkante liegen: center tikzpicturescale. filldrawcolorred!!black -------.---.--cycle; node at .-. fracL; pgftransformxshift-.cm filldrawcolorblack fillred!!yellow -----.---.--cycle; pgftransformyshift.cm pgftransformxshiftcm filldrawcolorblack fillred!!yellow -----.---.--cycle; node at .-. fracL; pgftransformxshift-.cm pgftransformyshift-.cm filldrawcolorblue . circle .; drawdashed colorblue --; tikzpicture center Auch dieser Fall ist noch recht einsichtlich. Da das Problem völlig symmetrisch ist kann der gemeinsame Schwerpunkt noch von Auge gesehen werden. Er liegt in der Mitte der Überlappung der beiden Steine. Die gestrichelte blaue Linie veranschaulicht dass der Schwerpunkt über der Tischkante liegt. Schon die Lage des dritten Steines ist schwieriger einzusehen: center tikzpicturescale. filldrawcolorred!!black -------.---.--cycle; node at .-. fracL; pgftransformxshift-.cm filldrawcolorblack fillred!!yellow -----.---.--cycle; pgftransformyshift.cm pgftransformxshiftcm node at .-. fracL; pgftransformxshift-.cm filldrawcolorblack fillred!!yellow -----.---.--cycle; pgftransformyshift.cm pgftransformxshiftcm filldrawcolorblack fillred!!yellow -----.---.--cycle; node at .-. fracL; pgftransformxshift-.cm pgftransformyshift-cm filldrawcolorgreen!!black . circle .; filldrawcolorgreen!!black -.. circle .; tikzpicture center Die beiden grünen Punkte zeigen die Schwerpunkte des -Stein-Systems und des neuen Steins an. Drehpunkt ist die Tischkante. Eine einfache Drehmomentgleichung mg leftfracL-xright mg x x fracL führt darauf dass der dritte Stein noch einen sechstel seiner Länge über die Tischkante hinausragen darf. Gehen wir nun zur Analyse des n-ten Steines über: center tikzpicturescale. drawdashed -..---.; drawdashed ..--.; filldrawcolorred!!black -------.---.--cycle; node at .-. x; pgftransformxshift-.cm filldrawcolorblack fillred!!yellow -----.---.--cycle; filldrawcolorgreen!!black . circle .; pgftransformyshiftcm pgftransformxshift.cm filldrawcolorblack fillred!!yellow -----.---.--cycle; node at .-. fracL; pgftransformyshift.cm pgftransformxshiftcm node at .-. fracL; pgftransformxshift-.cm filldrawcolorblack fillred!!yellow -----.---.--cycle; pgftransformyshift.cm pgftransformxshiftcm filldrawcolorblack fillred!!yellow -----.---.--cycle; node at .-. fracL; pgftransformyshift-cm pgftransformxshift-.cm drawcolorred dashed thick .--..; tikzpicture center Der Schwerpunkt des Systems der n- Steine über dem untersten liegt irgwo auf der roten gestrichelten Linie also über der Kante des letzten Steins. Sie erzeugen zusammen ein Drehmoment von M n- mg x im Uhrzeigersinn. Der verbleibe letzte Stein ein solches von M mg leftfracL-xright gegen den Uhrzeigersinn. Gleichsetzen und Auflösen nach x ergibt xfracnfracL. Wir schliessen also dass der n-te Stein noch fracL fracn über die Kante herausragen darf. Der Torbogen erreicht dann wegen d fracL _k^n frack für unlich viele Mauersteine nrightarrow infty d lim_nrightarrowinfty fracL _k^n frack infty theoretisch eine unliche Länge...