Exercise:
Betrachen wir ein Torsionspel auch Drehpel genannt. Das Pel ist eine Vorrichtung die wie folgt aussieht: center tikzpicturescale % Drehung draw thick -latex .. arc -::. and .; % Draht draw line widthptdrawgray -- ; draw patternnorth east linesdrawnone . rectangle .; % Verbindung draw very thick -- ; % Kugeln shadedraw shadingball circle .cm; shadedraw shadingball circle .cm; % Decke fill gray! . rectangle ..; draw very thick . -- .; % Verbindung gedreht draw thick dashed rotate around : -- ; draw thick dotted rotate around :fillwhite circle .cm; draw thick dotted rotate around :fillwhite circle .cm; % Drehwinkel draw thick -latex arc :: and .; node at . -. varphi; tikzpicture center Das Torsionspel kann nur bis zu einem bestimmten Winkel gedreht werden. Auf die Kugeln mit dem Trägheitsmoment J apx .kgm^ wirkt durch den verdrillten Draht ein rücktreibes Drehmoment M. Dieses ist analog zum Hooke'schen Gesetz: M - Dvarphi wobei D das Direktionsmoment ist. enumerate item Zeigen Sie dass dieses Torsionspel auch eine harmonische Schwingung vollzieht. item Bestimmen Sie die Frequenz der Schwingung falls D Nm ist. item Bestimmen Sie die Funktion der Schwingung varphit falls das Pel zu Beginn um den Winkel varphi_ ausgelenkt und ohne Anfangswinkelgeschwindigkeit losgelassen wird. enumerate

Solution:
enumerate item Die Bewegungsgleichung ist in der Aufgabe bereits gegeben mit M Jalpha gilt M Jalpha - Dvarphi wobei J das Trägheitsmoment und alpha die Winkelbeschleunigung ist. Damit gilt alpha ddotvarphi und es folgt Jddotvarphi -Dvarphi myRarrow ddotvarphi -fracDJvarphi myRarrow ddotvarphi -omega^varphi mit omega sqrtfracDJ. item Die Frequenz ist: f fracomegapi fracpisqrtfracDJ apx .hertz. item Nun das Anfangswertbedingungen lauten: varphit varphi_ und dotvarphit und daraus folgt mit dem Ansatz varphit Asinomega t + Bcosomega t: varphit varphi_ B und dotvarphit Aomega myRarrow A da omega ne ist. Damit erhalten wir: varphit varphi_cosomega t. enumerate