Verdunstender Wassertropfen
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Exercise:
Im Folgen soll ein kugelförmiger reiner Wassertropfen mit rO Radius betrachtet werden. Dieser Wassertropfen verliert über Verdunstung Masse. Die Rate bei welcher das geschieht ist proportional zur Oberfläche des Wassertropfens. Die Dichte des Wassertropfens bleibt konstant von anderen die Masse reduzieren Mechanismen ist abzusehen. abcliste abc Aus wie vielen Molekülen Anzahl besteht der Wassertropfen anfänglich? abc Stelle die Differentialgleichung auf welche den Radius des Tropfens als Funktion der Zeit festlegt. abc Gib den Radius des Wassertropfens formal als Funktion der Zeit an. abcliste
Solution:
abcliste abc Der Wassertropfen mit V frac pi r^ V Volumen und m rho V m Masse besteht anfänglich aus n fracmM n N N Wasser-Molekülen. abc glqq Verdunstung der Masse proportional zur Oberflächegrqq sieht formal so aus: fracddmddt &propto -S fracrho ddVddt -c pi r^ fracrho ddleftfracpi r^rightddt -c pi r^ fracrho frac pi ddr^ddt -c pi r^ fracrho fracddddtr^ -cr^ abc Lösung der Differentialgleichung: fracddddtr^ -fraccrhor^ r^dot r -fraccrhor^ dot rt -fraccrho rt -fraccrhot + C abcliste
Im Folgen soll ein kugelförmiger reiner Wassertropfen mit rO Radius betrachtet werden. Dieser Wassertropfen verliert über Verdunstung Masse. Die Rate bei welcher das geschieht ist proportional zur Oberfläche des Wassertropfens. Die Dichte des Wassertropfens bleibt konstant von anderen die Masse reduzieren Mechanismen ist abzusehen. abcliste abc Aus wie vielen Molekülen Anzahl besteht der Wassertropfen anfänglich? abc Stelle die Differentialgleichung auf welche den Radius des Tropfens als Funktion der Zeit festlegt. abc Gib den Radius des Wassertropfens formal als Funktion der Zeit an. abcliste
Solution:
abcliste abc Der Wassertropfen mit V frac pi r^ V Volumen und m rho V m Masse besteht anfänglich aus n fracmM n N N Wasser-Molekülen. abc glqq Verdunstung der Masse proportional zur Oberflächegrqq sieht formal so aus: fracddmddt &propto -S fracrho ddVddt -c pi r^ fracrho ddleftfracpi r^rightddt -c pi r^ fracrho frac pi ddr^ddt -c pi r^ fracrho fracddddtr^ -cr^ abc Lösung der Differentialgleichung: fracddddtr^ -fraccrhor^ r^dot r -fraccrhor^ dot rt -fraccrho rt -fraccrhot + C abcliste