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Exercise:
Innerhalb eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge decimeter wird zufällig ein Punkt markiert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er mehr als decimeter von jeder Ecke entfernt?

Solution:
Man kann den Ansatz von Laplace verwen tcbhighmathloesungtextWahrscheinlichkeit fractextGünstigetextMögliche Dazu sollte man zunächst die mögliche gesamte Fläche des Dreiecks berechnen. Dafür kann die Flächenformel eines gleichseitigen Dreiecks verwet werden mit der obigen Seitenlängenangabe A_textmöglich fraca^sqrt fracdecimetersquaredsqrt sqrt decimetersquared Anschliess berechnet man die günstige Fläche also jene wo die Punkte einen Abstand bzw. Radius von mehr als decimeter von einer der drei Ecken aufweisen. Dazu kann man die Flächen mit einem Radius von weniger oder gleich decimeter Abstand von einem Eckpunkt von der Gesamtfläche abziehen. Das ergibt dann A_textgünstig fraca^sqrt - r^ fracpi sqrt decimetersquared - decimeter^ fracpi .decimetersquared Mit diesen beiden Angaben kann man schliesslich die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen wie folgt PA fracA_textgünstigA_textmöglich .%
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Exercise:
Innerhalb eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge decimeter wird zufällig ein Punkt markiert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er mehr als decimeter von jeder Ecke entfernt?

Solution:
Man kann den Ansatz von Laplace verwen tcbhighmathloesungtextWahrscheinlichkeit fractextGünstigetextMögliche Dazu sollte man zunächst die mögliche gesamte Fläche des Dreiecks berechnen. Dafür kann die Flächenformel eines gleichseitigen Dreiecks verwet werden mit der obigen Seitenlängenangabe A_textmöglich fraca^sqrt fracdecimetersquaredsqrt sqrt decimetersquared Anschliess berechnet man die günstige Fläche also jene wo die Punkte einen Abstand bzw. Radius von mehr als decimeter von einer der drei Ecken aufweisen. Dazu kann man die Flächen mit einem Radius von weniger oder gleich decimeter Abstand von einem Eckpunkt von der Gesamtfläche abziehen. Das ergibt dann A_textgünstig fraca^sqrt - r^ fracpi sqrt decimetersquared - decimeter^ fracpi .decimetersquared Mit diesen beiden Angaben kann man schliesslich die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen wie folgt PA fracA_textgünstigA_textmöglich .%
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Title Creator Matched on
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Attributes & Decorations
Tags
dreieck, laplace, wahrscheinlichkeit
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Decoration
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