Exercise:
Im Dreieck ABC gilt: M ist Seitenmittelpunkt alpha epsilon round-modeplaces round-precisionalphaValue^circ. Wie gross sind beta und gamma? center tikzpicturescale. coordinatelabelleft:A A at ; coordinatelabelabove:C C at alphaValue:bValue; coordinatelabelright:B B at :cValue; coordinatelabelright:M M at MxValueMyValue; draw A -- B -- C -- cycle; draw A -- M; tkzMarkAnglemarknonesizeRalphaValueBAC; tkzLabelAnglepos. scale.BACround-modeplaces round-precisionalphaValue^circ; fillorange! cValuRbetaValue arc:-betaValue:RbetaValue -- B; fillblue! gammaxspecialValuegammayspecialValue arc+alphaValue:-betaValue:RgammaValue --C; tkzMarkAnglemarknonesizeRbetaValueCBA; tkzLabelAngleposCBAbeta; tkzMarkAnglemarknonesizeRgammaValueACB; tkzLabelAnglepos.ACBgamma; tkzMarkAnglemarknonesizeRepsilonValueCMA; tkzLabelAnglepos. scale.CMAround-modeplaces round-precisionepsilonValue^circ; tikzpicture center

Solution:
Zunächst wird die Ähnlichkeit der Dreiecke triangle MAC und triangle ABC untersucht. Da beide Dreiecke einen gemeinsamen Winkel von round-modeplaces round-precisionalphaValue^circ haben und die Seitenverhältnisse entsprech gegeben sind lässt sich feststellen dass die beiden Dreiecke ähnlich sind. Dies ermöglicht die Anwung von Seitenverhältnissen zur Berechnung der unbekannten Größen. center tikzpicturescale. scope coordinatelabelleft:A A at ; coordinatelabelabove:C C at alphaValue:bValue; coordinatelabelright:M M at MxValueMyValue; draw A -- M--C--cycle; tkzMarkAnglemarknonesizeRgammaValueACM; tkzLabelAnglepos.ACBgamma tkzMarkAnglemarknonesizeRepsilonValueCMA; tkzLabelAnglepos. scale.CMAround-modeplaces round-precisionepsilonValue^circ; tkzLabelSegmentrightptCM.a; tkzLabelSegmentleftptACb; scope scopexshift coordinatelabelleft:A A at ; coordinatelabelabove:C C at alphaValue:bValue; coordinatelabelright:B B at :cValue; draw A -- B--C--cycle; tkzMarkAnglemarknonesizeRalphaValueBAC; tkzLabelAnglepos. scale.BACround-modeplaces round-precisionalphaValue^circ; tkzMarkAnglemarknonesizeRbetaValueCBA; tkzLabelAngleposCBAbeta; tkzMarkAnglemarknonesizeRgammaValueACB; tkzLabelAnglepos.ACBgamma tkzLabelSegmentleftptACb; tkzLabelSegmentrightptCBa; scope tikzpicture center textbfEntspreche Seiten: tabularl@hspaceptl % Adjust the spacing as needed .a zwischen gamma und varepsilonalpha & b zwischen gamma und varepsilonalpha b gegenüber varepsilonalpha & a gegenüber varepsilonalpha tabular Da M der Mittelpunkt der Seite AB ist gilt die Verhältnisgleichung: * frac.ab fracba * Durch Umstellen und Lösen dieser Gleichung ergibt sich die Beziehung zwischen den Seitenlängen: * .a^ b^ a^ b^ a bsqrt * textbfBerechnung von beta: Diese Erkenntnis wird genutzt um den Winkel beta zu bestimmen. Dazu wird der Sinussatz verwet: * fracsinbetab fracsinalphaa * Da alpha round-modeplaces round-precisionalphaValue^circ bekannt ist und a bsqrt gilt: * fracsinbetab fracsinround-modeplaces round-precisionalphaValue^circbsqrt sinbeta fracsinround-modeplaces round-precisionalphaValue^circsqrt beta arcsinfracsinround-modeplaces round-precisionalphaValue^circsqrt beta round-modeplaces round-precisionbetaValue^circ * textbfBerechnung von gamma: Um den Winkel gamma zu berechnen wird die Winkelme im Dreieck verwet. In jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel ^circ sodass gilt: * gamma ^circ - alpha - beta * Setzt man die bekannten Werte ein: * gamma ^circ - round-modeplaces round-precisionalphaValue^circ - round-modeplaces round-precisionbetaValue^circ gamma round-modeplaces round-precisiongammaValue^circ * textbfErgebnisse: Somit sind die gesuchten Winkel beta round-modeplaces round-precisionbetaValue^circ und gamma round-modeplaces round-precisiongammaValue^circ * beta round-modeplaces round-precisionbetaValue^circ gamma round-modeplaces round-precisiongammaValue^circ *