Exercise:
In einem Dreieck triangle ABC stehen die Seitenhalbieren S_a Sa und S_b Sb im rechten Winkel aufeinander. Bestimme die Winkel im Dreieck triangle ABC .

Solution:
Dazu verwen wir den Schwerpunktsatz dieser besagt dass: itemize item Der schnittpunkt der Seitenhalbieren der Schwerpunkt ist. item Die seitenhalbieren im verhältniss : stehen. itemize Um die Aufgabe zu lösen müssen wir taktisch vorgehen. Da die Seitenhalbieren rechtwinklig zueinanderstehen können wir sie auf die Achsen eines Koordinatensystems setzen. Wenn wir den Schwerpunkt im Ursprung S setzen können wir mit Hilfe des bekannten Verhältnisses die Koordinaten der Punkte A und B berechnen. pgfmathparse/ * Sa letresultgpgfmathresult pgfmathparseabsroundresultg - resultg . ? roundresultg : resultg letresultapgfmathresult pgfmathparse/ * Sb letresulthpgfmathresult pgfmathparseabsroundresulth - resulth . ? roundresulth : resulth letresultbpgfmathresult pgfmathparseresulta / letresultipgfmathresult pgfmathparseabsroundresulti - resulti . ? roundresulti : resulti letresultcpgfmathresult pgfmathparseresultb / letresultjpgfmathresult pgfmathparseabsroundresultj - resultj . ? roundresultj : resultj letresultdpgfmathresult pgfmathparseresultc * - letresultkpgfmathresult pgfmathparseabsroundresultk - resultk . ? roundresultk : resultk letresultepgfmathresult pgfmathparseresultd * - letresultlpgfmathresult pgfmathparseabsroundresultl - resultl . ? roundresultl : resultl letresultfpgfmathresult itemize item Punkt A: |overlineAB| frac S_a frac Sa resulta Das heisst wenn wir S_a nun auf die x-Achse setzten erhalten wir die Koordinaten für Aresulta item Punkt B: |overlineAB| frac S_b frac Sb resultb Das heisst wenn wir S_b nun auf die y-Achse setzten erhalten wir die Koordinaten für Bresultb item Punkt C: C wird durch die dritte Seitenhalbiere S_c berechnet unter der Überlegung das S_c zum Mittelpunkt der Seite AB M_AB verläuft und von dem Schwepunkt S im Verhältniss : geteilt wird. M_AB left fracx_A + x_B ; fracy_A + y_Bright left frac resulta + ; frac + resultbright resultc;resultd Der Abstand von S zu M_AB ist frac der Gesamtlänge von S_c: * VecS frac VecM_AB + frac VecC em bmatrix bmatrix frac bmatrix resultc resultd bmatrix + frac bmatrix x_C y_C bmatrix em bmatrix bmatrix bmatrix resultc resultd bmatrix + bmatrix x_C y_C bmatrix em bmatrix x_C y_C bmatrix - bmatrix resultc resultd bmatrix em bmatrix x_C y_C bmatrix bmatrix resulte resultf bmatrix * Das bedeutet das die Koordinaten von C resulteresultf sind. itemize center tikzpicturex.cm y.cmdomain-:smooth draw colorgray! stepmm -- grid ; draw-thick - -- noderight x; draw-thick - -- nodeabove y; foreach c in --...-... draw c-. -- c. nodebelowpt scriptstylec; draw -.c -- .c nodeleftpt scriptstylec; nodebelow leftscriptstyle; coordinate labelabove right:AA at Sa* / ; coordinate labelabove right:BB at Sb* /; coordinate labelbelow left:CC at Sa* //*- Sb* //*-; coordinate D at Sa* -/ ; coordinate E at Sb* -/; draw thick A -- B; draw thick B -- C; draw thick C -- A; draw thick green A -- D nodemidway above textblack S_A; draw thick green B -- E nodemidway right textblack S_B; tikzpicture center Da wir nun die Genauen Koordinaten der Dreipunkte wissen können wir mit der Abstandsformel die längen der Seiten des Dreiecks triangle ABC Berechnen. pgfmathparseresulta - ^ + - resultb^^/ letresultmpgfmathresult pgfmathparseabsroundresultm - resultm . ? roundresultm : resultm letresultnpgfmathresult pgfmathparse - resulte^ + resultb - resultf^^/ letresultopgfmathresult pgfmathparseabsroundresulto - resulto . ? roundresulto : resulto letresultppgfmathresult pgfmathparseresulta - resulte^ + - resultf^^/ letresultrpgfmathresult pgfmathparseabsroundresultr - resultr . ? roundresultr : resultr letresultspgfmathresult d sqrtx_ - x_^ + y_ - y_^ Wobei x_ y_ und x_ y_ die Koordinaten zweier Punkte sind. * overlineAB sqrtresulta - ^ + - resultb^ resultn overlineBC sqrt - resulte^ + resultb - resultf^ resultp overlineCA sqrtresulta - resulte^ + - resultf^ results * Da wir nun die Längen aller Seiten haben können wir zur berechnung der Winkel alpha beta gamma den Kosinussatz verwen. cosalpha fracb^ + c^ - a^bc cosbeta fraca^ + c^ - b^ac cosgamma fraca^ + b^ - c^ab pgfmathparseacosresults^ + resultn^ - resultp^/ * results * resultn letresulttpgfmathresult pgfmathparseabsroundresultt - resultt . ? roundresultt : resultt letresultupgfmathresult pgfmathparseacosresultp^ + resultn^ - results^/ * resultp * resultn letresultvpgfmathresult pgfmathparseabsroundresultv - resultv . ? roundresultv : resultv letresultwpgfmathresult pgfmathparseacosresultp^ + results^ - resultn^/ * resultp * results letresultxpgfmathresult pgfmathparseabsroundresultx - resultx . ? roundresultx : resultx letresultzpgfmathresult Wobei a b c die Seiten des dreiecks sind. itemize item a overlineBC resultp item b overlineCA results item c overlineAB resultn itemize Für den Winkel alpha ergibt sich: * cosalpha fracb^ + c^ - a^bc em cosalpha fracresults^ + resultn^ - resultp^ results resultn em alpha arccosfracresults^ + resultn^ - resultp^ results resultn em alpha resultu^circ * Für den Winkel beta ergibt sich: * cosbeta fraca^ + c^ - b^ac em cosbeta fracresultp^ + resultn^ - results^ resultp resultn em beta arccosfracresultp^ + resultn^ - results^ resultp resultn em beta resultv^circ * Für den Winkel gamma ergibt sich: * cosgamma fraca^ + b^ - c^ab em cosgamma fracresultp^ + results^ - resultn^ resultp results em gamma arccosfracresultp^ + results^ - resultn^ resultp results em gamma resultx^circ * Die Winkel des Dreiecks sind: alpha approx numround-modeplaces round-precisionresultu ^circ beta approx numround-modeplaces round-precisionresultf ^circ gamma approx numround-modeplaces round-precisionresultx ^circ.