Exercise:
Ein gleichschenkliges Trapez besitzt den Umfang U werty cm. Die Masszahlen der Decklinie a der Schenkel b der Grundlinie c und der Diagonalen d bilden in dieser Reihenfolge eine AF. Bestimme den Flächeninhalt und die Winkel des Trapezes. center tikzpicture coordinate A at ; coordinate B at ; coordinate C at ; coordinate D at ; draw A -- B -- C -- D -- cycle; draw A -- C; node at .. a; node at . b; node at . b; node at .-.c; node at . d; tikzpicture center

Solution:
Die Seitenlängen ergeben eine Arithmetische Folge: a für a a+x für b a+x für c und a+x für d pgfmathsetmacroresultwerty/ Damit kann nun der Umfang berechnet werden: a+b+c werty cm a+a+x+a+x werty cm a+a+x+a+x werty cm a+x werty cm a+x numresult cm pgfmathsetmacroresultawerty/ pgfmathsetmacroresultxwerty/ Jetzt werden a und x berechnet mithilfe der Diagonalenformel: d sqrtb^+ac a+x sqrta+x^+aa+x a^+ax+x^ a^+ax+x^+a^+ax x^+ax-a^ x +/- fraca anumresulta cm xnumresultx cm Somit wissen wir dass: pgfmathsetmacroresultbresulta + resultx pgfmathsetmacroresultcresulta + *resultx pgfmathsetmacroresultdresulta + *resultx b numresultb cm c numresultc cm d numresultd cm Für den Flächeninhalt benötigen wir die Höhe h rot: tikzpicture coordinate A at ; coordinate B at ; coordinate C at ; coordinate D at ; draw A -- B -- C -- D -- cycle; draw A -- C; draw colorredD -- ; draw colorgreen A -- ; node at .. a; node at . b; node at . b; node at .-.c; node at . d; node at ..h; node at .-.x; tikzpicture pgfmathsetmacroresulthsqrtresulta + resultx^ - resultx^ h sqrtb^-x^ sqrtleftfracU + fracUright^ - leftfracUright^ sqrtresultb^-resultx^ numresulth cm Mit h kann nun A berechnet werden: pgfmathsetmacroresultAresulta + resultc * resulth/ A fraca+c h fracleftleftfracU + fracUright + fracUright sqrtleftfracU + fracUright^ - leftfracUright^ numresultA cm^ Jetzt kann der Winkel alpha grün berechnet werden: tikzpicture coordinate A at ; coordinate B at ; coordinate C at ; coordinate D at ; draw A -- B -- C -- D -- cycle; draw A -- C; draw colorredD -- ; node at .. a; node at . b; node at . b; node at .-.c; node at . d; node at ..h; fill green -- .. -- .. -- .; tikzpicture pgfmathsetmacroresultalphaasin resulth/resultb alpha arcsinfrachb arcsin fracsqrtleftfracU + fracUright^ - leftfracUright^leftfracU + fracUright arcsinfracresulth cmresultb cm numresultalpha ^circ Für beta benötigen wir zuerst gamma gelb: tikzpicture coordinate A at ; coordinate B at ; coordinate C at ; coordinate D at ; draw A -- B -- C -- D -- cycle; draw A -- C; draw colorredD -- ; node at .. a; node at . b; node at . b; node at .-.c; node at . d; node at ..h; fill yellow . -- . -- D; tikzpicture pgfmathsetmacroresultgamma--resultalpha gamma ang - ang - alpha ang - ang - arcsin fracsqrtleftfracU + fracUright^ - leftfracUright^leftfracU + fracUright ang - ang - angresultalpha numresultgamma ^circ Und so kann nun beta blau berechnet werden: tikzpicture coordinate A at ; coordinate B at ; coordinate C at ; coordinate D at ; draw A -- B -- C -- D -- cycle; draw A -- C; draw colorredD -- ; node at .. a; node at . b; node at . b; node at .-.c; node at . d; node at ..h; fillblue . -- . -- . -- D; tikzpicture pgfmathsetmacroresultbetaresultgamma + beta gamma + ang leftang - ang - arcsin fracsqrtleftfracU + fracUright^ - leftfracUright^leftfracU + fracUrightright + ang angresultgamma + ang numresultbeta ^circ sectionErgebnis itemize item Der Flächeninhalt A beträgt numresultA cm^. item Der Winkel alpha ist numresultalpha ^circ. item Der Winkel beta ist numresultbeta ^circ. itemize