Exercise:
center tikzpicture coordinate A at ; coordinate B at ; coordinate C at ; coordinate D at ; coordinate E at ; coordinate F at ; coordinate G at ; node at -. A; node at -. B; node at . C; node at . D; node at . E; node at .. F; node at . y; node at .. x; node at . z; node at .. beta; node at -. a; drawthick A -- B -- C -- D -- A; drawthick B -- C -- E -- B; drawthick D -- F; drawthick color red F -- A; drawthick color red F -- E; drawdashed color green G -- E; drawdashed B -- .. -- tikzpicture center ABCD ist ein Quadrat BCE ein gleichseitiges Dreieck. Die Seitenlänge a des Quadrates beträgt a. Berechne x overlineEF und y overlineAF.

Solution:
Als erstes berechnen wir den ganzen Winkel gamma grün. Wir wissen dass die linke Seite ang ist und die rechte Seite ang beträgt da bei einem gleichseitigen Dreieck immer alle Winkel ang sind. tikzpicture coordinate A at ; coordinate B at ; coordinate C at ; coordinate D at ; coordinate E at ; coordinate F at ; coordinate G at ; node at -. A; node at -. B; node at . C; node at . D; node at . E; node at .. F; node at . y; node at .. x; node at . z; node at -. a; drawthick A -- B -- C -- D -- A; drawthick B -- C -- E -- B; drawthick D -- F; drawthick color red F -- A; drawthick color red F -- E; drawdashed color green G -- E; fillgreen -- . -- .. -- ; tikzpicture pgfmathsetmacroresult+ gamma ang + ang numresult^circ Nun kann delta gelb berechnet werden. Wir wissen dass das Dreieck CDE ang hat und gamma schon ang ist. Die anderen zwei Winkel müssen gleich gross sein. tikzpicture coordinate A at ; coordinate B at ; coordinate C at ; coordinate D at ; coordinate E at ; coordinate F at ; coordinate G at ; node at -. A; node at -. B; node at . C; node at . D; node at . E; node at .. F; node at . y; node at .. x; node at . z; node at -. a; drawthick A -- B -- C -- D -- A; drawthick B -- C -- E -- B; drawthick D -- F; drawthick color red F -- A; drawthick color red F -- E; drawdashed color green G -- E; fillyellow -- . -- ; tikzpicture pgfmathsetmacroresult-/ delta fracang-gamma fracang-ang numresult^circ pgfmathsetmacroresulta/cos-+/ Jetzt können wir die Strecke overlineDF mit der Strecke overlineCD und delta berechnen. DF fracoverlineCDcos delta fracoverlineCDcosfracang-gamma fracacosfracang-ang + ang numresult newpage Der dritte Winkel epsilon blau im overlineCDF Dreieck kann nun auch berechnet werden. tikzpicture coordinate A at ; coordinate B at ; coordinate C at ; coordinate D at ; coordinate E at ; coordinate F at ; coordinate G at ; node at -. A; node at -. B; node at . C; node at . D; node at . E; node at .. F; node at . y; node at .. x; node at . z; node at -. a; drawthick A -- B -- C -- D -- A; drawthick B -- C -- E -- B; drawthick D -- F; drawthick color red F -- A; drawthick color red F -- E; drawdashed color green G -- E; fillblue -- . -- .; tikzpicture pgfmathsetmacroresult----/ epsilon ang - ang - delta ang - ang - fracang-gamma ang - ang - fracang- ang - ang numresult^circ pgfmathsetmacroresultsin-/*a/cos-+/ Die Strecke overlineCF kann berechnet werden. overlineCF sindelta overlineDF sinleftfracang-gammaright fracoverlineCDcosfracang-gamma sin leftfracang-angright fracacosfracang-ang + ang numresult pgfmathsetmacroresulta - result overlineBF ist somit: overlineBF a - overlineCF a - sindelta overlineDF a - sinleftfracang-gammaright fracoverlineCDcosfracang-gamma a - sin leftfracang-angright fracacosfracang-ang + ang numresult pgfmathsetmacroresultysqrta^ + result ^ Und jetzt kann damit die Strecke y mit Pythagoras berechnet werden. y sqrtoverlineAB^ + overlineBF^ sqrta^ + a - sindelta overlineDF^ sqrta^ + lefta - sinleftfracang-gammaright fracoverlineCDcosfracang-gammaright^ sqrta^ + lefta - sin leftfracang-angright fracacosfracang-ang + angright^ numresulty Jetzt wird die Hilfslinie z mit dem Winkel beta berechnet. tikzpicture coordinate A at ; coordinate B at ; coordinate C at ; coordinate D at ; coordinate E at ; coordinate F at ; coordinate G at ; node at -. A; node at -. B; node at . C; node at . D; node at . E; node at .. F; node at . y; node at .. x; node at . z; node at .. beta; node at -. a; drawthick A -- B -- C -- D -- A; drawthick B -- C -- E -- B; drawthick D -- F; drawthick color red F -- A; drawthick color red F -- E; drawdashed color green G -- E; drawdashed B -- .. -- tikzpicture pgfmathsetmacroresultzsin*a z sinbeta overlineBE sinang a numresultz newpage Und mit der Hilfslinie z und dem Gegenwinkel von epsilon Phi gelb kann nun noch x berechnet werden. tikzpicture coordinate A at ; coordinate B at ; coordinate C at ; coordinate D at ; coordinate E at ; coordinate F at ; coordinate G at ; node at -. A; node at -. B; node at . C; node at . D; node at . E; node at .. F; node at . y; node at .. x; node at . z; node at -. a; drawthick A -- B -- C -- D -- A; drawthick B -- C -- E -- B; drawthick D -- F; drawthick color red F -- A; drawthick color red F -- E; drawdashed color green G -- E; fillyellow -- . -- .; tikzpicture pgfmathsetmacroresultxresultz/sin----/ x fraczsin Phi fracsinbeta overlineBEsinang - ang - delta fracsinang aang - ang - fracang- ang - ang numresultx sectionErgebnis itemize item Der Wert y ist numresulty. item Der Wert x ist numresultx. itemize