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Exercise:
Der Integralsinus ist die durch textSix _^x fracsintt ddt definierte Funktion Si: mathbbR rightarrow mathbbR abcliste abc Erklären Sie warum das Integral konvergiert. abc Geben Sie die Taylor-Reihe von Six an im Punkt x_ . abcliste

Solution:
abcliste abc Die Funktion f : x rightarrow mathbbR definiert durch t mapsto fracsintt ist stetig als Verknüpfung stetiger Funktionen. In der Vorlesung wurde gezeigt dass lim_t rightarrow fracsintt ist darum kann f stetig zu einer Funktion tildef:xrightarrow mathbbR erweitert werden. Stetige Funktion definiert auf einem kompakten Intervall sind egrierbar. Das Integral konvergiert also. abc Wir benutzen die Reiharstellung des Sinus. Die Potenzreihe des Sinus konvergiert für alle t in mathbbR und ist sint _n^infty frac-^nt^n+n+!. Wir dürfen Potenzreihen gliedweise egrieren und erhalten darum textSix _^x fracsintt ddt _n^infty frac-^nt^n+tn + n + ! _n^infty frac-^nt^n+n + n + !. abcliste
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Der Integralsinus ist die durch textSix _^x fracsintt ddt definierte Funktion Si: mathbbR rightarrow mathbbR abcliste abc Erklären Sie warum das Integral konvergiert. abc Geben Sie die Taylor-Reihe von Six an im Punkt x_ . abcliste

Solution:
abcliste abc Die Funktion f : x rightarrow mathbbR definiert durch t mapsto fracsintt ist stetig als Verknüpfung stetiger Funktionen. In der Vorlesung wurde gezeigt dass lim_t rightarrow fracsintt ist darum kann f stetig zu einer Funktion tildef:xrightarrow mathbbR erweitert werden. Stetige Funktion definiert auf einem kompakten Intervall sind egrierbar. Das Integral konvergiert also. abc Wir benutzen die Reiharstellung des Sinus. Die Potenzreihe des Sinus konvergiert für alle t in mathbbR und ist sint _n^infty frac-^nt^n+n+!. Wir dürfen Potenzreihen gliedweise egrieren und erhalten darum textSix _^x fracsintt ddt _n^infty frac-^nt^n+tn + n + ! _n^infty frac-^nt^n+n + n + !. abcliste
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, eth, konvergenz, prüfung20, taylor
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Both
Decoration
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