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Exercise:
Sei Xd ein metrischer Raum sei A subset X eine nichtleere Teilmenge und sei f_A : Xrightarrow mathbbR die durch f_Axtextinfdxa| ain A definierte Funktion. Zeigen Sie dass die Funktion f_A stetig ist. Ist f_A sogar gleichmässig stetig? Falls ja dann beweisen Sie das und falls nicht erklären Sie warum.

Solution:
Wir zeigen dass f_A Lipschitz-stetig mit Lipschitz Konstante ist also |f_Ax - f_Ay| leq dx y Seien x y in X dann gilt für beliebiges a in A dass f_Ax leq dx a leq dx y + dy a mit der Dreiecksungleichung. Da a beliebig war folgt aus f_Ax leq dx y + dy a wenn wir dass Infimum über alle a in A nehmen dass f_Ax leq dx y + f_Ay gilt. Also f_Ax - f_Ay leq dx y. Indem wir x y vertauschen finden wir analog f_Ay - f_Ax leq dy x dx y. definierte Funktion. Zusammen folgt |f_Ax - f_Ay| leq dx y.
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Exercise:
Sei Xd ein metrischer Raum sei A subset X eine nichtleere Teilmenge und sei f_A : Xrightarrow mathbbR die durch f_Axtextinfdxa| ain A definierte Funktion. Zeigen Sie dass die Funktion f_A stetig ist. Ist f_A sogar gleichmässig stetig? Falls ja dann beweisen Sie das und falls nicht erklären Sie warum.

Solution:
Wir zeigen dass f_A Lipschitz-stetig mit Lipschitz Konstante ist also |f_Ax - f_Ay| leq dx y Seien x y in X dann gilt für beliebiges a in A dass f_Ax leq dx a leq dx y + dy a mit der Dreiecksungleichung. Da a beliebig war folgt aus f_Ax leq dx y + dy a wenn wir dass Infimum über alle a in A nehmen dass f_Ax leq dx y + f_Ay gilt. Also f_Ax - f_Ay leq dx y. Indem wir x y vertauschen finden wir analog f_Ay - f_Ax leq dy x dx y. definierte Funktion. Zusammen folgt |f_Ax - f_Ay| leq dx y.
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Tags
analysis, eth, prüfung20
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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