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Exercise:
Sei Xd ein metrischer Raum und x_n_ninmathbbN eine Folge in X. abcliste abc Wann ist x_n_ninmathbbN eine Cauchy-Folge? Geben Sie die Definition an. abc Sei r und x_n_ninmathbbN eine Folge welche |x_n-x_n+| leq r_n für alle n in mathbbN erfüllt. Zeigen Sie dass x_n_nin mathbbN eine Cauchy-Folge ist. abc Sei x_n_ninmathbbN die Folge in mathbbR definiert durch x_ x_ textund x_n+ fracx_n + fracx_n- für alle n geq . Zeigen Sie dass x_n_ninmathbbN konvergiert. abcliste

Solution:
abcliste abc Eine Folge x_n_ninmathbbN in einem metrischen Raum Xd ist eine Cauchy-Folge falls es für jedes epsilon ein N in mathbbN gibt so dass dx_mx_n epsilon für alle mn geq N gilt. abc Sei epsilon . Sei m geq n. Aus |x_n - x_n+| leq r^n folgt nach mehrmaligem Anwen der Dreiecksungleichung: |x_n-x_m|leq|x_n-x_n+|+|x_n+-x_n+|+... +|x_m--x_m|leq r^n +r^n+ +...+r^m leq fracr^n-r wobei man im letzten Schritt die geometrische Reihe benutzt _k^infty aq^k fraca-q |q| . Weil r ist gibt es ausserdem ein N in mathbbN so dass r_n epsilon - r für alle n geq N ist. Dies beweist dass x_n_ninmathbbN eine Cauchy-Folge ist. abc Die rekursive Definition impliziert |x_n - x_n+| frac|x_n--x_n|. Mit |x_ - x_| leftfracright^ finden wir induktiv |x_n - x_n+| leftfracright^n |x_n- - x_n|. Mit Teilaufgabe b ist x_n also eine Cauchy-Folge. Weil mathbbR vollständig ist konvergiert die Folge x_n. abcliste
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Sei Xd ein metrischer Raum und x_n_ninmathbbN eine Folge in X. abcliste abc Wann ist x_n_ninmathbbN eine Cauchy-Folge? Geben Sie die Definition an. abc Sei r und x_n_ninmathbbN eine Folge welche |x_n-x_n+| leq r_n für alle n in mathbbN erfüllt. Zeigen Sie dass x_n_nin mathbbN eine Cauchy-Folge ist. abc Sei x_n_ninmathbbN die Folge in mathbbR definiert durch x_ x_ textund x_n+ fracx_n + fracx_n- für alle n geq . Zeigen Sie dass x_n_ninmathbbN konvergiert. abcliste

Solution:
abcliste abc Eine Folge x_n_ninmathbbN in einem metrischen Raum Xd ist eine Cauchy-Folge falls es für jedes epsilon ein N in mathbbN gibt so dass dx_mx_n epsilon für alle mn geq N gilt. abc Sei epsilon . Sei m geq n. Aus |x_n - x_n+| leq r^n folgt nach mehrmaligem Anwen der Dreiecksungleichung: |x_n-x_m|leq|x_n-x_n+|+|x_n+-x_n+|+... +|x_m--x_m|leq r^n +r^n+ +...+r^m leq fracr^n-r wobei man im letzten Schritt die geometrische Reihe benutzt _k^infty aq^k fraca-q |q| . Weil r ist gibt es ausserdem ein N in mathbbN so dass r_n epsilon - r für alle n geq N ist. Dies beweist dass x_n_ninmathbbN eine Cauchy-Folge ist. abc Die rekursive Definition impliziert |x_n - x_n+| frac|x_n--x_n|. Mit |x_ - x_| leftfracright^ finden wir induktiv |x_n - x_n+| leftfracright^n |x_n- - x_n|. Mit Teilaufgabe b ist x_n also eine Cauchy-Folge. Weil mathbbR vollständig ist konvergiert die Folge x_n. abcliste
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, eth
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Both
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