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Exercise:
Sei sim eine Äquivalenzrelation auf der Menge mathbbN... derart dass a sim a+ wedge a sim a+ für alle a in mathbbN gilt. Gilt sim ? Wie viele Elemente hat der Quotient mathbbN/sim?

Solution:
Wir zeigen zuerst dass die Äquivalenzen asim a+ und a sim a+ implizieren dass a sim a + für alle a in mathbbN. In der Tat ist: a sim a + sim a + sim a + sim a + sim a + wobei wir die Symmetrie benutzt haben um a + sim a für alle a in mathbbN zu benutzen. Aus mehrfacher Anwung der Transitivität folgt nun a sim a + für alle a in mathbbN. Als nächstes folgern wir dass a sim b für alle a b in mathbbN. Wegen der Symmetrie ist es genug zu zeigen dass a sim b für alle a b in mathbbN mit a leq b. Für solche a und b gilt: a sim a + sim ... sim b - sim b Wieder mehrfache Nutzung der Transitivität gibt a sim b für alle a b in mathbbN. Also sind alle Elemente aus mathbbN bezüglich dieser Äquivalenzrelation zueinander äquivalent das heisst die Menge der Äquivalenzklassen mathbbN/sim besteht nur aus einem Element.
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Sei sim eine Äquivalenzrelation auf der Menge mathbbN... derart dass a sim a+ wedge a sim a+ für alle a in mathbbN gilt. Gilt sim ? Wie viele Elemente hat der Quotient mathbbN/sim?

Solution:
Wir zeigen zuerst dass die Äquivalenzen asim a+ und a sim a+ implizieren dass a sim a + für alle a in mathbbN. In der Tat ist: a sim a + sim a + sim a + sim a + sim a + wobei wir die Symmetrie benutzt haben um a + sim a für alle a in mathbbN zu benutzen. Aus mehrfacher Anwung der Transitivität folgt nun a sim a + für alle a in mathbbN. Als nächstes folgern wir dass a sim b für alle a b in mathbbN. Wegen der Symmetrie ist es genug zu zeigen dass a sim b für alle a b in mathbbN mit a leq b. Für solche a und b gilt: a sim a + sim ... sim b - sim b Wieder mehrfache Nutzung der Transitivität gibt a sim b für alle a b in mathbbN. Also sind alle Elemente aus mathbbN bezüglich dieser Äquivalenzrelation zueinander äquivalent das heisst die Menge der Äquivalenzklassen mathbbN/sim besteht nur aus einem Element.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, eth, hs22, serie 1
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Descriptive / Quality
Decoration
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