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Exercise:
Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihen: limits_n^infty fracsqrt+n^z^n limits_n^infty fracsqrtn^nn+^z^n limits_n^infty n^nz^n^

Solution:
Quotientenkriterium: R lim_n rightarrow inftyfrac|a_n||a_n+| lim_n rightarrow inftyfracfracsqrt+n^fracsqrt+n+^ lim_n rightarrow inftyfracsqrt+n+^sqrt+n^ sqrtlim_n rightarrow inftyfracfracn^+fracn+n^fracn^+ Wegen Stetigkeit der Wurzelfunktion. Nochmals Quotientenkriterium: R lim_n rightarrow inftyfrac|a_n||a_n+| lim_n rightarrow inftyfracfracsqrtn^nn+^fracsqrtn+^n+n+^ lim_n rightarrow inftyfracsqrtn^nsqrtn+^n+ lim_n rightarrow inftyfracn+^n+^ sqrtlim_n rightarrow inftyfracnn+ lim_n rightarrow inftyfrac^n^n+ sqrt lim_n rightarrow inftyfrac fracsqrt Reihe in Reihe der Form limits_k^infty a_kz^k umwandeln: a_k casesk^k textfalls kn^ textfür ein nin mathbbN textsonst.cases Dann ist limits_n^infty n^nz^n^ limits_n^infty a_kz^k. Nun kann man das Wurzelkriterium verwen: R limsup_k rightarrow inftyfracsqrtka_k lim_n rightarrow inftyfracsqrtn^n^n lim_n rightarrow inftyfracsqrtnn textDa sqrtn^n^nn^n^fracn^ n^fracnn^n^fracn
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Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihen: limits_n^infty fracsqrt+n^z^n limits_n^infty fracsqrtn^nn+^z^n limits_n^infty n^nz^n^

Solution:
Quotientenkriterium: R lim_n rightarrow inftyfrac|a_n||a_n+| lim_n rightarrow inftyfracfracsqrt+n^fracsqrt+n+^ lim_n rightarrow inftyfracsqrt+n+^sqrt+n^ sqrtlim_n rightarrow inftyfracfracn^+fracn+n^fracn^+ Wegen Stetigkeit der Wurzelfunktion. Nochmals Quotientenkriterium: R lim_n rightarrow inftyfrac|a_n||a_n+| lim_n rightarrow inftyfracfracsqrtn^nn+^fracsqrtn+^n+n+^ lim_n rightarrow inftyfracsqrtn^nsqrtn+^n+ lim_n rightarrow inftyfracn+^n+^ sqrtlim_n rightarrow inftyfracnn+ lim_n rightarrow inftyfrac^n^n+ sqrt lim_n rightarrow inftyfrac fracsqrt Reihe in Reihe der Form limits_k^infty a_kz^k umwandeln: a_k casesk^k textfalls kn^ textfür ein nin mathbbN textsonst.cases Dann ist limits_n^infty n^nz^n^ limits_n^infty a_kz^k. Nun kann man das Wurzelkriterium verwen: R limsup_k rightarrow inftyfracsqrtka_k lim_n rightarrow inftyfracsqrtn^n^n lim_n rightarrow inftyfracsqrtnn textDa sqrtn^n^nn^n^fracn^ n^fracnn^n^fracn
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, eth, hs22, konvergenzradius
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Decoration
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