Über den Konvergenzradius
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Exercise:
Sei _n^infty a_nz^n eine Potenzreihe und R ihr Konvergenzradius. Dann konvergiert die Reihe _n^infty a_nz^n für alle z in mathbbC mit |z| R absolut und divergiert für alle z in mathbbC mit |z| R. Weiters konvergiert die Funktionenfolge _n^N a_nz^n gleichmässig gegen _n^infty a_nz^n auf jeder Kreisscheeibe der Form B_Sz in mathbbC||z| S für jedes S in R. Insbesondere definiert die Potenzreihe die stetige Abbildung z in B_Rmapsto _n^infty a_nz^n in mathbbC.
Solution:
Beweis. Man verwet das Wurzelkriterium aus Korollar . für ein beliebiges zin mathbbC und die Reihe _n^infty a_nz^n und berechnet deswegen lim textsup_n to inftysqrtn|a_nz^n| lim textsup_n to inftysqrtn|a_n||z| |z|lim textsup_n to inftysqrtn|a_n| frac|z|R Nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Reihe also absolut für frac|z|R und divergiert für frac|z|R . Die Fälle R und R+infty ergeben sich aus dem gleichen Argument. Sei nun S in R. Für den Beweis der gleichmässigen Konvergenz auf B_S bemerkt man dass nach obigem bereits _n^infty |a_n|S^n infty gilt. Daher existiert für jedes epsilon ein N in mathbbN mit _nN^infty |a_n|S^n epsilon. Für alle z in B_S und n geq N gilt damit left|_k^n a_kz^k -_k^infty a_kz^kright| left|_kn+^infty a_kz^kright| leq _kN^infty |a_k|S^k epsilon. Dies beweist die gleichmässige Konvergenz der stetigen Funktionenfolge _k^n a_kz^k auf B_S gegen _k^infty a_kz^k und damit die Stetigkeit von z in B_S mapsto _k^infty a_kz^k in mathbbC nach Satz .. Insbesondere ist die Funktion z in B_Smapsto _n^infty a_nz^n in mathbbC stetig an jedem Punkt da es zu z in B_R ein S R gibt mit z in B_S. Dies beweist den Satz.
Sei _n^infty a_nz^n eine Potenzreihe und R ihr Konvergenzradius. Dann konvergiert die Reihe _n^infty a_nz^n für alle z in mathbbC mit |z| R absolut und divergiert für alle z in mathbbC mit |z| R. Weiters konvergiert die Funktionenfolge _n^N a_nz^n gleichmässig gegen _n^infty a_nz^n auf jeder Kreisscheeibe der Form B_Sz in mathbbC||z| S für jedes S in R. Insbesondere definiert die Potenzreihe die stetige Abbildung z in B_Rmapsto _n^infty a_nz^n in mathbbC.
Solution:
Beweis. Man verwet das Wurzelkriterium aus Korollar . für ein beliebiges zin mathbbC und die Reihe _n^infty a_nz^n und berechnet deswegen lim textsup_n to inftysqrtn|a_nz^n| lim textsup_n to inftysqrtn|a_n||z| |z|lim textsup_n to inftysqrtn|a_n| frac|z|R Nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Reihe also absolut für frac|z|R und divergiert für frac|z|R . Die Fälle R und R+infty ergeben sich aus dem gleichen Argument. Sei nun S in R. Für den Beweis der gleichmässigen Konvergenz auf B_S bemerkt man dass nach obigem bereits _n^infty |a_n|S^n infty gilt. Daher existiert für jedes epsilon ein N in mathbbN mit _nN^infty |a_n|S^n epsilon. Für alle z in B_S und n geq N gilt damit left|_k^n a_kz^k -_k^infty a_kz^kright| left|_kn+^infty a_kz^kright| leq _kN^infty |a_k|S^k epsilon. Dies beweist die gleichmässige Konvergenz der stetigen Funktionenfolge _k^n a_kz^k auf B_S gegen _k^infty a_kz^k und damit die Stetigkeit von z in B_S mapsto _k^infty a_kz^k in mathbbC nach Satz .. Insbesondere ist die Funktion z in B_Smapsto _n^infty a_nz^n in mathbbC stetig an jedem Punkt da es zu z in B_R ein S R gibt mit z in B_S. Dies beweist den Satz.