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Exercise:
Unter obigen Annahmen ist auf overlinef overlinef:x in -RRmapsto _n^infty a_nx^n in mathbbC stetig. Das heisst _n^infty a_nR^n overlinefR lim limits_x rightarrow R overlinefx lim limits_x rightarrow R _n^infty a_nx^n Eine analoge Aussage gilt falls _n^infty a_n-R^n konvergiert.

Solution:
Beweis. Ang. o.B.d.A. dass Konvergenzradius ist. Es gilt frac-x_n^infty a_nx^n _n^infty a_+...+a_nx^n für alle x in -. Man definiere A_n a_+...+a_n A lim limits_x rightarrow infty A_n _n^infty a_n und erhält mit b_n A_n-A für n in mathbbN die Gleichung fx _n^infty a_nx^n -x_n^infty A_nx^n -x_n^infty b_n+Ax^n -x_n^infty b_nx^n+A für alle x in -. Sei epsilon . Dann existiert ein N in mathbbN mit |b_n| epsilon für alle n geq N. Daraus folgt für x in dass |fx-A| left|-x_n^infty b_nx^nright| &leq left|-x_n^N b_nx^nright|+-xepsilon _nN+^infty x^n &leq left|-x_n^N b_nx^nright|+epsilon. Da aber das Polynom -x_n^N b_nx^n auf mathbbR stetig ist und bei verschwindet gibt es weiter ein delta s.d. x in -delta Longrightarrow left|-x_n^N b_nx^nright| epsilon. Daher gilt |fx-A| epsilon für alle x in -delta und der Satz folgt.
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Unter obigen Annahmen ist auf overlinef overlinef:x in -RRmapsto _n^infty a_nx^n in mathbbC stetig. Das heisst _n^infty a_nR^n overlinefR lim limits_x rightarrow R overlinefx lim limits_x rightarrow R _n^infty a_nx^n Eine analoge Aussage gilt falls _n^infty a_n-R^n konvergiert.

Solution:
Beweis. Ang. o.B.d.A. dass Konvergenzradius ist. Es gilt frac-x_n^infty a_nx^n _n^infty a_+...+a_nx^n für alle x in -. Man definiere A_n a_+...+a_n A lim limits_x rightarrow infty A_n _n^infty a_n und erhält mit b_n A_n-A für n in mathbbN die Gleichung fx _n^infty a_nx^n -x_n^infty A_nx^n -x_n^infty b_n+Ax^n -x_n^infty b_nx^n+A für alle x in -. Sei epsilon . Dann existiert ein N in mathbbN mit |b_n| epsilon für alle n geq N. Daraus folgt für x in dass |fx-A| left|-x_n^infty b_nx^nright| &leq left|-x_n^N b_nx^nright|+-xepsilon _nN+^infty x^n &leq left|-x_n^N b_nx^nright|+epsilon. Da aber das Polynom -x_n^N b_nx^n auf mathbbR stetig ist und bei verschwindet gibt es weiter ein delta s.d. x in -delta Longrightarrow left|-x_n^N b_nx^nright| epsilon. Daher gilt |fx-A| epsilon für alle x in -delta und der Satz folgt.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, konvergenz, konvergenzradius, proof
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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