Exercise:
Beweisen sie folge Aussage: Sei f in mathcalFab beschränkt. Folge Bedingungen sind äquivalent: itemize item f ist R-bar. item Es existiert höchstens eine oder genau eine reelle Zahl I die die Ungleichungen _a^b u ddxleq I leq _a^b o ddx für alle ou in mathcalTFab mit u leq f leq o erfüllt. anschaulich: es gibt höchstens ein oder nur ein glqq Eingequetschtes grqq d.h. ist eindeutig item Für alle uo in mathcalTFab mit u leq f leq o so dass _a^b o-u ddx epsilon anschaulich: f lässt sich zwischen zwei Treppenfunktionen mathcalTF glqq einquetschengrqq itemize

Solution:
Beweis. Angenommen f ist R-bar wie im ersten Punkt. Zunächst zeigt man die dritte Bedingung: Sei epsilon . Dann existiert wegen zweiter Charaktereigenschaft des Supremums Satz . ein u in mathcalTFab mit u leq f und _a^b u ddx underlineIf-fracepsilon . Genauso existiert ein o in mathcalTFab mit o geq f und _a^b o ddx overlineIf+fracepsilon. Da underlineIf overlineIf nach Vorraussetzung folgt nun mit . Linearität des Integrals von Treppenfunktionen _a^b o-u ddx _a^b o ddx - _a^b u ddx & overlineIf + fracepsilon- leftunderlineIf-fracepsilonright epsilon Angenommen f in mathcalFab ist beschränkt und erfüllt die dritte Aussage. Nun zeigt man die zweite Bedingung: Seien I_ I_ in mathbbR und erfüllen die Ungleichungen _a^b u ddxleq I_ leq _a^b o ddx _a^b u ddxleq I_ leq _a^b o ddx für alle ou in mathcalTFab mit u leq f leq o. Für ein beliebiges epsilon kann man wegen der dritten Bedingung ou in mathcalTFab finden so dass die obigen Ungleichungen kombiniert zu I_-I_leq _a^b o ddx- _a^b u ddx epsilon und I_-I_leq _a^b o ddx- _a^b u ddx epsilon führen. Daher ist |I_-I_| epsilon für alle epsilon und es muss I_I_ gelten. Dies zeigt dass es höchstens eine Zahl I in mathbbR gibt die die Ungleichung des zweiten Punktes erfüllt. Angenommen die zweite Aussage gilt. Man kann nun behaupten dass die Ungleichungen dann von genau einer Zahl erfüllt werden und dass f R-bar ist. In der Tat gilt dass _a^b u ddxleq textsupmathcalUf underlineIf leq overlineIf textinfmathcalOfleq _a^b o ddx für alle uo in mathcalTFab mit uleq f leq o. Das heisst dass sowohl overlineIf wie auch underlineIf die Ungleichungen der zweiten Aussage erfüllen. Nach Voraussetzung folgt underlineIf overlineIf und damit dass f R-bar ist. Es gelten also die Implikationen Rightarrow Rightarrow Rightarrow gelten also folgt die Proposition.