Beweis Bernoulli-de l'Hôpital
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Exercise:
Beweisen Sie den Satz von Bernoulli-de l'Hôpital: Seien fg:abrightarrow mathbbR stetig und auf ab differenzierbar mit g'x neq für alle x in ab. Weiter sei faga und es existiere limlimits_x rightarrow afracf'xg'x A. Dann ist gx neq und limlimits_x rightarrow afracfxgx limlimits_x rightarrow afracf'xg'x.
Solution:
underlinegx neq : Gäbe es ein s in ab mit gs so würde nach dem Mittelwertsatz ein c in as existieren s.d. g'c fracgs-gas-a im Widerspruch zur Annahme wäre dass g'x neq für alle x in ab gilt. Somit ist g'x neq für alle x in ab. underlineAussage über den Grenzwert: Wir betrachten die Hilfsfunktion hx fracfsgsgx-fx für ein s in ab. Die Funktion h ist definiert weil gs neq . Sie ist ausserdem auf ab stetig und auf ab differenzierbar weil Differenz zweier stetiger bzw. differenzierbarer Funktionen. Dann werten wir die Hilfsfunktion h an den Stellen xa und xs aus und erhalten ha fracfsgsga-fa quad hs fracfsgsgs-fs Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein xi in as s.d. h'xi frachs-has-a d.h. h'xi fracfsgsg'xi-f'xi Rightarrow fracfsgsfracf'xig'xi Nun muss nur noch der Grenzwert srightarrow a bestimmt werden. Da xi zwischen a und s liegt und s gegen a konvergiert konvergiert auch xi gegen a. Somit gilt limlimits_s rightarrow afracfxgx limlimits_xi rightarrow afracf'xig'xi.
Beweisen Sie den Satz von Bernoulli-de l'Hôpital: Seien fg:abrightarrow mathbbR stetig und auf ab differenzierbar mit g'x neq für alle x in ab. Weiter sei faga und es existiere limlimits_x rightarrow afracf'xg'x A. Dann ist gx neq und limlimits_x rightarrow afracfxgx limlimits_x rightarrow afracf'xg'x.
Solution:
underlinegx neq : Gäbe es ein s in ab mit gs so würde nach dem Mittelwertsatz ein c in as existieren s.d. g'c fracgs-gas-a im Widerspruch zur Annahme wäre dass g'x neq für alle x in ab gilt. Somit ist g'x neq für alle x in ab. underlineAussage über den Grenzwert: Wir betrachten die Hilfsfunktion hx fracfsgsgx-fx für ein s in ab. Die Funktion h ist definiert weil gs neq . Sie ist ausserdem auf ab stetig und auf ab differenzierbar weil Differenz zweier stetiger bzw. differenzierbarer Funktionen. Dann werten wir die Hilfsfunktion h an den Stellen xa und xs aus und erhalten ha fracfsgsga-fa quad hs fracfsgsgs-fs Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein xi in as s.d. h'xi frachs-has-a d.h. h'xi fracfsgsg'xi-f'xi Rightarrow fracfsgsfracf'xig'xi Nun muss nur noch der Grenzwert srightarrow a bestimmt werden. Da xi zwischen a und s liegt und s gegen a konvergiert konvergiert auch xi gegen a. Somit gilt limlimits_s rightarrow afracfxgx limlimits_xi rightarrow afracf'xig'xi.