Beweis Bernoulli-de l'Hôpital
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
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Exercise:
Beweisen Sie den Satz von Bernoulli-de l'Hôpital: Seien fg:abrightarrow mathbbR stetig und auf ab differenzierbar mit g'x neq für alle x in ab. Weiter sei faga und es existiere limlimits_x rightarrow afracf'xg'x A. Dann ist gx neq und limlimits_x rightarrow afracfxgx limlimits_x rightarrow afracf'xg'x.
Solution:
underlinegx neq : Gäbe es ein s in ab mit gs so würde nach dem Mittelwertsatz ein c in as existieren s.d. g'c fracgs-gas-a im Widerspruch zur Annahme wäre dass g'x neq für alle x in ab gilt. Somit ist g'x neq für alle x in ab. underlineAussage über den Grenzwert: Wir betrachten die Hilfsfunktion hx fracfsgsgx-fx für ein s in ab. Die Funktion h ist definiert weil gs neq . Sie ist ausserdem auf ab stetig und auf ab differenzierbar weil Differenz zweier stetiger bzw. differenzierbarer Funktionen. Dann werten wir die Hilfsfunktion h an den Stellen xa und xs aus und erhalten ha fracfsgsga-fa quad hs fracfsgsgs-fs Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein xi in as s.d. h'xi frachs-has-a d.h. h'xi fracfsgsg'xi-f'xi Rightarrow fracfsgsfracf'xig'xi Nun muss nur noch der Grenzwert srightarrow a bestimmt werden. Da xi zwischen a und s liegt und s gegen a konvergiert konvergiert auch xi gegen a. Somit gilt limlimits_s rightarrow afracfxgx limlimits_xi rightarrow afracf'xig'xi.
Beweisen Sie den Satz von Bernoulli-de l'Hôpital: Seien fg:abrightarrow mathbbR stetig und auf ab differenzierbar mit g'x neq für alle x in ab. Weiter sei faga und es existiere limlimits_x rightarrow afracf'xg'x A. Dann ist gx neq und limlimits_x rightarrow afracfxgx limlimits_x rightarrow afracf'xg'x.
Solution:
underlinegx neq : Gäbe es ein s in ab mit gs so würde nach dem Mittelwertsatz ein c in as existieren s.d. g'c fracgs-gas-a im Widerspruch zur Annahme wäre dass g'x neq für alle x in ab gilt. Somit ist g'x neq für alle x in ab. underlineAussage über den Grenzwert: Wir betrachten die Hilfsfunktion hx fracfsgsgx-fx für ein s in ab. Die Funktion h ist definiert weil gs neq . Sie ist ausserdem auf ab stetig und auf ab differenzierbar weil Differenz zweier stetiger bzw. differenzierbarer Funktionen. Dann werten wir die Hilfsfunktion h an den Stellen xa und xs aus und erhalten ha fracfsgsga-fa quad hs fracfsgsgs-fs Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein xi in as s.d. h'xi frachs-has-a d.h. h'xi fracfsgsg'xi-f'xi Rightarrow fracfsgsfracf'xig'xi Nun muss nur noch der Grenzwert srightarrow a bestimmt werden. Da xi zwischen a und s liegt und s gegen a konvergiert konvergiert auch xi gegen a. Somit gilt limlimits_s rightarrow afracfxgx limlimits_xi rightarrow afracf'xig'xi.
Meta Information
Exercise:
Beweisen Sie den Satz von Bernoulli-de l'Hôpital: Seien fg:abrightarrow mathbbR stetig und auf ab differenzierbar mit g'x neq für alle x in ab. Weiter sei faga und es existiere limlimits_x rightarrow afracf'xg'x A. Dann ist gx neq und limlimits_x rightarrow afracfxgx limlimits_x rightarrow afracf'xg'x.
Solution:
underlinegx neq : Gäbe es ein s in ab mit gs so würde nach dem Mittelwertsatz ein c in as existieren s.d. g'c fracgs-gas-a im Widerspruch zur Annahme wäre dass g'x neq für alle x in ab gilt. Somit ist g'x neq für alle x in ab. underlineAussage über den Grenzwert: Wir betrachten die Hilfsfunktion hx fracfsgsgx-fx für ein s in ab. Die Funktion h ist definiert weil gs neq . Sie ist ausserdem auf ab stetig und auf ab differenzierbar weil Differenz zweier stetiger bzw. differenzierbarer Funktionen. Dann werten wir die Hilfsfunktion h an den Stellen xa und xs aus und erhalten ha fracfsgsga-fa quad hs fracfsgsgs-fs Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein xi in as s.d. h'xi frachs-has-a d.h. h'xi fracfsgsg'xi-f'xi Rightarrow fracfsgsfracf'xig'xi Nun muss nur noch der Grenzwert srightarrow a bestimmt werden. Da xi zwischen a und s liegt und s gegen a konvergiert konvergiert auch xi gegen a. Somit gilt limlimits_s rightarrow afracfxgx limlimits_xi rightarrow afracf'xig'xi.
Beweisen Sie den Satz von Bernoulli-de l'Hôpital: Seien fg:abrightarrow mathbbR stetig und auf ab differenzierbar mit g'x neq für alle x in ab. Weiter sei faga und es existiere limlimits_x rightarrow afracf'xg'x A. Dann ist gx neq und limlimits_x rightarrow afracfxgx limlimits_x rightarrow afracf'xg'x.
Solution:
underlinegx neq : Gäbe es ein s in ab mit gs so würde nach dem Mittelwertsatz ein c in as existieren s.d. g'c fracgs-gas-a im Widerspruch zur Annahme wäre dass g'x neq für alle x in ab gilt. Somit ist g'x neq für alle x in ab. underlineAussage über den Grenzwert: Wir betrachten die Hilfsfunktion hx fracfsgsgx-fx für ein s in ab. Die Funktion h ist definiert weil gs neq . Sie ist ausserdem auf ab stetig und auf ab differenzierbar weil Differenz zweier stetiger bzw. differenzierbarer Funktionen. Dann werten wir die Hilfsfunktion h an den Stellen xa und xs aus und erhalten ha fracfsgsga-fa quad hs fracfsgsgs-fs Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein xi in as s.d. h'xi frachs-has-a d.h. h'xi fracfsgsg'xi-f'xi Rightarrow fracfsgsfracf'xig'xi Nun muss nur noch der Grenzwert srightarrow a bestimmt werden. Da xi zwischen a und s liegt und s gegen a konvergiert konvergiert auch xi gegen a. Somit gilt limlimits_s rightarrow afracfxgx limlimits_xi rightarrow afracf'xig'xi.
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