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Exercise:
Beweisen Sie folge Aussage: Für n in mathbbN_ und k in mathbbN mit leq k leq n gelten n choose n choose n und die Additionsformel displaystylen choose k- + displaystylen choose k displaystylen+ choose k. Insbesondere ist n choose k in mathbbN für alle n k in mathbbN_ mit leq k leq n.

Solution:
Beweis. Man verwet die Definition der Binomialkoeffizienten und erhält n choose n choose n fracn!! n! sowie n choose k- + n choose k fracn!k-!n-k-!+fracn!k!n-k! frackn!k!n+-k!+fracn+-kn!k!n+-k! frack+n+-kn!k!n+-k! n+ choose k durch Erweiterung mit k beziehungsweise n+-k. Die Aussage dass n choose k in mathbbN für alle k in mathbbN_ mit leq k leq n ergibt sich aus den ersten beiden Aussagen und Induktion nach n. In der Tat entsteht die jeweils nächste Zeile im Pascal-Dreieck indem man an den Rändern jeweils eine und dazwischen die Summen aus der vorherigen Zeile niederschreibt.
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Beweisen Sie folge Aussage: Für n in mathbbN_ und k in mathbbN mit leq k leq n gelten n choose n choose n und die Additionsformel displaystylen choose k- + displaystylen choose k displaystylen+ choose k. Insbesondere ist n choose k in mathbbN für alle n k in mathbbN_ mit leq k leq n.

Solution:
Beweis. Man verwet die Definition der Binomialkoeffizienten und erhält n choose n choose n fracn!! n! sowie n choose k- + n choose k fracn!k-!n-k-!+fracn!k!n-k! frackn!k!n+-k!+fracn+-kn!k!n+-k! frack+n+-kn!k!n+-k! n+ choose k durch Erweiterung mit k beziehungsweise n+-k. Die Aussage dass n choose k in mathbbN für alle k in mathbbN_ mit leq k leq n ergibt sich aus den ersten beiden Aussagen und Induktion nach n. In der Tat entsteht die jeweils nächste Zeile im Pascal-Dreieck indem man an den Rändern jeweils eine und dazwischen die Summen aus der vorherigen Zeile niederschreibt.
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Tags
analysis, beweis, eth, hs22, proof
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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