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Exercise:
Beweisen Sie: Sei für jedes n in mathbbN ein bf nicht-leeres abgeschlossenes beschränktes Intervall I_n a_nb_n gegeben so dass für alle natürlichen Zahlen m leq n die Inklusion I_n subseteq I_m oder äquivalenterweise die Ungleichungen a_m leq a_n leq b_n leq b_m gelten. Dann ist der Durchschnitt bigcap_n^infty I_n textsupa_n | n in mathbbN textinfb_n | nin mathbbN nicht-leer Skizze!.

Solution:
Nach Annahme gilt für natürliche Zahlen lmn mit lleq mleq n die Ungleichung a_lleq a_mleq a_nleq b_lleq b_mleq b_n Insbesondere ist b_m eine obere Schranke von a_k | k in mathbbN woraus textsupa_k | k in mathbbN leq b_m folgt. Da m in mathbbN beliebig war sieht man nun dass overlinea textsupa_k | k in mathbbN leq textinfb_m | m in mathbbN overlineb Insbesondere ist der Schnitt bigcap_n^infty I_n nicht-leer da er zum Beispiel overlinea enthält. Für x in mathbbR gilt nun die Abfolge von Äquivalenzen x in bigcap_n^infty a_nb_n &Longleftrightarrow forall n in mathbbN: a_n leq x leq b_n &Longleftrightarrow forall n in mathbbN: a_n leq x land forall n in mathbbN: x leq b_n &Longleftrightarrow overlinealeq x land x leq overlineb womit bigcap_n^infty a_nb_n overlinea overlineb gilt und der Satz folgt.
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Beweisen Sie: Sei für jedes n in mathbbN ein bf nicht-leeres abgeschlossenes beschränktes Intervall I_n a_nb_n gegeben so dass für alle natürlichen Zahlen m leq n die Inklusion I_n subseteq I_m oder äquivalenterweise die Ungleichungen a_m leq a_n leq b_n leq b_m gelten. Dann ist der Durchschnitt bigcap_n^infty I_n textsupa_n | n in mathbbN textinfb_n | nin mathbbN nicht-leer Skizze!.

Solution:
Nach Annahme gilt für natürliche Zahlen lmn mit lleq mleq n die Ungleichung a_lleq a_mleq a_nleq b_lleq b_mleq b_n Insbesondere ist b_m eine obere Schranke von a_k | k in mathbbN woraus textsupa_k | k in mathbbN leq b_m folgt. Da m in mathbbN beliebig war sieht man nun dass overlinea textsupa_k | k in mathbbN leq textinfb_m | m in mathbbN overlineb Insbesondere ist der Schnitt bigcap_n^infty I_n nicht-leer da er zum Beispiel overlinea enthält. Für x in mathbbR gilt nun die Abfolge von Äquivalenzen x in bigcap_n^infty a_nb_n &Longleftrightarrow forall n in mathbbN: a_n leq x leq b_n &Longleftrightarrow forall n in mathbbN: a_n leq x land forall n in mathbbN: x leq b_n &Longleftrightarrow overlinealeq x land x leq overlineb womit bigcap_n^infty a_nb_n overlinea overlineb gilt und der Satz folgt.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, infimum, intervalle, proof, supremum
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration
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