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https://texercises.com/exercise/beweis-stetigkeit-unter-verknupfung/
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Exercise:
Beweisen Sie folge Aussage: Seien D_ D_ subset mathbbR zwei Teilmengen und sei x_ in D_. Angenommen f:D_ rightarrow D_ ist eine bei x_ stetige Funktion und g:D_ rightarrow mathbbR ist eine bei fx_ stetige Funktion. Dann ist g circ f: D_ rightarrow mathbbR bei x_ stetig. Insbesondere ist die Verknüpfung von stetigen Funktionen wieder stetig.

Solution:
Beweis. Sei epsilon . Dann existiert wegen der Stetigkeit von g bei fx_ ein eta so dass für alle y in D_ gilt |y-fx_| eta Rightarrow |gy-gfx_| epsilon Da eta ist und f bei x_ stetig ist gibt es aber auch ein delta so dass für alle x in D_ gilt |x-x_| delta Rightarrow |fx-fx_| eta Zusammen ergibt sich unter Verwung von yfx in fD_ subset D_ dass für alle x in D_ gilt |x-x_| delta Rightarrow |fx-fx_| eta Rightarrow |gy-gfx_| epsilon Dies beweist auch die letzte Aussage da x_ ein beliebiger Punkt in D_ war.
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Beweisen Sie folge Aussage: Seien D_ D_ subset mathbbR zwei Teilmengen und sei x_ in D_. Angenommen f:D_ rightarrow D_ ist eine bei x_ stetige Funktion und g:D_ rightarrow mathbbR ist eine bei fx_ stetige Funktion. Dann ist g circ f: D_ rightarrow mathbbR bei x_ stetig. Insbesondere ist die Verknüpfung von stetigen Funktionen wieder stetig.

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Beweis. Sei epsilon . Dann existiert wegen der Stetigkeit von g bei fx_ ein eta so dass für alle y in D_ gilt |y-fx_| eta Rightarrow |gy-gfx_| epsilon Da eta ist und f bei x_ stetig ist gibt es aber auch ein delta so dass für alle x in D_ gilt |x-x_| delta Rightarrow |fx-fx_| eta Zusammen ergibt sich unter Verwung von yfx in fD_ subset D_ dass für alle x in D_ gilt |x-x_| delta Rightarrow |fx-fx_| eta Rightarrow |gy-gfx_| epsilon Dies beweist auch die letzte Aussage da x_ ein beliebiger Punkt in D_ war.
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Tags
analysis, beweis, eth, hs22, proof, stetigkeit
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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