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https://texercises.com/exercise/stetigkeit-injektivitat-monotonie/
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Exercise:
Sei I subseteq mathbbR ein Intervall f:I rightarrow mathbbR stetig und injektiv. Dann ist f streng monoton.

Solution:
Widerspruch: Angenommen f ist nicht streng monoton & x y z in I: fx geq fy leq fz oder fx leq fy geq fz. Ang. ersteres gilt: Es folgt fx geq fz geq fy oder fz geq fx geq fy. Ang. ersteres gilt andere Fälle analog. Da f stetig ist folgt mit ZWS für x y und fz in fyfx dass exists w : x leq w leq y mit fw fz. Mit Injektivität folgt daraus wz. Widerspruch da w leq y z.
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Sei I subseteq mathbbR ein Intervall f:I rightarrow mathbbR stetig und injektiv. Dann ist f streng monoton.

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Widerspruch: Angenommen f ist nicht streng monoton & x y z in I: fx geq fy leq fz oder fx leq fy geq fz. Ang. ersteres gilt: Es folgt fx geq fz geq fy oder fz geq fx geq fy. Ang. ersteres gilt andere Fälle analog. Da f stetig ist folgt mit ZWS für x y und fz in fyfx dass exists w : x leq w leq y mit fw fz. Mit Injektivität folgt daraus wz. Widerspruch da w leq y z.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, monotonie, proof, stetigkeit
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration
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