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https://texercises.com/exercise/zwischenwerteigenschaft-ableitung/
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Exercise:
Zeigen Sie dass Ableitungen die Zwischenwerteigenschaft besitzen: Sind a b in mathbbR mit a b und ist f : a b rightarrow mathbbR differenzierbar so nimmt f' jeden Wert zwischen f'a und f'b an.

Solution:
Sei c ein Wert zwischen f'a und f'b. Man betrachte die Funktion g: ab rightarrow mathbbR definiert durch gx fx - cx für x in ab. Dann ist g differenzierbar mit g'x f'x - c. Besitzt g' keine Nullstelle so muss g monoton sein also gilt entweder g' geq falls g monoton wachs ist oder g' leq falls g monoton fall ist. Beachten wir zusätzlich dass g' laut Annahme keine Nullstelle hat so folgt g' oder g' . Äquivalenterweise gilt entweder f'x c für alle x in ab oder f'x c für alle x in a b. Beide dieser Möglichkeiten widersprechen jedoch der Wahl von c. Dies zeigt dass g' eine Nullstelle besitzen muss also dass es ein xi in a b gibt mit f'xi c.
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Zeigen Sie dass Ableitungen die Zwischenwerteigenschaft besitzen: Sind a b in mathbbR mit a b und ist f : a b rightarrow mathbbR differenzierbar so nimmt f' jeden Wert zwischen f'a und f'b an.

Solution:
Sei c ein Wert zwischen f'a und f'b. Man betrachte die Funktion g: ab rightarrow mathbbR definiert durch gx fx - cx für x in ab. Dann ist g differenzierbar mit g'x f'x - c. Besitzt g' keine Nullstelle so muss g monoton sein also gilt entweder g' geq falls g monoton wachs ist oder g' leq falls g monoton fall ist. Beachten wir zusätzlich dass g' laut Annahme keine Nullstelle hat so folgt g' oder g' . Äquivalenterweise gilt entweder f'x c für alle x in ab oder f'x c für alle x in a b. Beide dieser Möglichkeiten widersprechen jedoch der Wahl von c. Dies zeigt dass g' eine Nullstelle besitzen muss also dass es ein xi in a b gibt mit f'xi c.
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Attributes & Decorations
Tags
ableitung, analysis, beweis, eth, hs22, proof
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration
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