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Exercise:
Sei ab ein kompaktes Intervall mit Endpunkten a b und sei f in Rab eine auf ab R-bare Funktion. Falls f bei x_ in ab stetig ist so ist F:x in ab mapsto _a^b ft ddt bei x_ diffbar und F'x_fx_.

Solution:
Beweis. Sei epsilon . Dann existiert ein delta mit |fx-fx_| epsilon für alle x in x_-delta x_+deltacap ab. Man verwet dies nun in Kombination mit der Dreiecksungleichung für das Riemann-Integral Satz . und der Intervalladditivität des Riemann-Integrals Satz . um die Aussage zu zeigen. Für x in x_-delta x_+deltacap ab gilt left|fracFx-Fx_x-x_-fx_right| left|fracx-x_left_a^x ft ddt-_a^x_ ft ddtright-fx_right| left|fracx-x__x_^x ft ddt-fx_right| left|fracx-x__x_^x ft ddt-fracx-x__x_^x fx_ ddtright| left|fracx-x__x_^x ft-fx_ ddtright| &leq fracx-x_ _x_^x |ft-fx_| ddt &leq fracx-x_ _x_^x epsilon ddt epsilon Analog gilt für x in x_-deltax_cap ab dass left|fracFx-Fx_x-x_-fx_right| left|fracFx_-Fxx-x_-fx_right| left|fracx-x__x^x_ ft-fx_ ddtright| &leq fracx-x__x^x_ |ft-fx_| ddt &leq epsilon Da epsilon beliebig war beweist dies lim limits_x rightarrow x_ fracFx-Fx_x-x_fx_ und damit den Satz.
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Sei ab ein kompaktes Intervall mit Endpunkten a b und sei f in Rab eine auf ab R-bare Funktion. Falls f bei x_ in ab stetig ist so ist F:x in ab mapsto _a^b ft ddt bei x_ diffbar und F'x_fx_.

Solution:
Beweis. Sei epsilon . Dann existiert ein delta mit |fx-fx_| epsilon für alle x in x_-delta x_+deltacap ab. Man verwet dies nun in Kombination mit der Dreiecksungleichung für das Riemann-Integral Satz . und der Intervalladditivität des Riemann-Integrals Satz . um die Aussage zu zeigen. Für x in x_-delta x_+deltacap ab gilt left|fracFx-Fx_x-x_-fx_right| left|fracx-x_left_a^x ft ddt-_a^x_ ft ddtright-fx_right| left|fracx-x__x_^x ft ddt-fx_right| left|fracx-x__x_^x ft ddt-fracx-x__x_^x fx_ ddtright| left|fracx-x__x_^x ft-fx_ ddtright| &leq fracx-x_ _x_^x |ft-fx_| ddt &leq fracx-x_ _x_^x epsilon ddt epsilon Analog gilt für x in x_-deltax_cap ab dass left|fracFx-Fx_x-x_-fx_right| left|fracFx_-Fxx-x_-fx_right| left|fracx-x__x^x_ ft-fx_ ddtright| &leq fracx-x__x^x_ |ft-fx_| ddt &leq epsilon Da epsilon beliebig war beweist dies lim limits_x rightarrow x_ fracFx-Fx_x-x_fx_ und damit den Satz.
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Attributes & Decorations
Tags
ableitung, analysis, beweis, eth, hs22, integralrechnung, proof
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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