Exercise:
abcliste abc Was besagt das Archimedische Prinzip? abc Beweisen Sie. abcliste

Solution:
abcliste abc Jede nicht-leere von oben beschränkte Teilmenge von textcolorredmathbbZ hat ein Maximum. Für jedes x in mathbbR existiert genau ein n in textcolorredmathbbZ mit n leq x n+. Für jedes epsilon existiert ein n in textcolorredmathbbN mit fracn epsilon. H: Wird oft verwet wenn man einsetzen will dass fracn beliebig klein wird limes etc. abc Beweis. Zu : Sei E subseteq mathbbZ eine nicht-leere und als Teilmenge von mathbbR von oben beschränkte Teilmenge. Nach Satz . Supremum existiert das Supremum s_textsupE. Da s_ die kleinste obere Schranke von E ist existiert ein n_ in E mit s_- n_ leq s_ sonst wäre s_- eine kleinere obere Schranke und damit das Supremum. Es folgt s_ n_+ und für jedes m in E gilt dann m leq s_ n_+ woraus m leq n_ folgt. Daher ist n_ das Maximum von E wie in behauptet. Zu : Sei xgeq eine reelle Zahl. Dann ist En in mathbbZ | nleq x eine von oben beschränkte nicht-leere Teilmenge von mathbbZ nicht-leer da in E hier verwen wir x geq . Nach obigem hat E ein Maximum das heisst es gibt ein maximales n in mathbbZ mit n leq x. Daraus folgt x n+ wie in . Falls x ist dann können wir obigen Fall auf -x anwen und finden ein l in mathbbZ mit l leq -x l+. Daraus folgt dass es auch ein k in l l+ subseteq mathbbZ mit k- -x leq k gibt. Für n-k in mathbbZ erhalten wir schliesslich n leq x n+. Damit ist die Existenz in bewiesen. Für den Beweis der Eindeutigkeit nehmen wir an dass n_ n_ in mathbbZ die Ungleichungen n_ leq x n_+ und n_ leq x n_+ gelten. Daraus folgt n_ leq x n_+ und damit n_ leq n_. Analog folgt n_ leq n_ was n_n_ impliziert. Zu : Sei epsilon eine reelle Zahl. Dann gilt auch fracepsilon und es gibt nach Teil ein n in mathbbN mit fracepsilon n. Für dieses n gilt aber auch fracn epsilon wie in behauptet wurde. abcliste