Exercise:
Zeigen Sie: Für jedes d in mathbbN_ gibt es rationale Konstanten c_...c_d in mathbbQ s.d. _k^n k^d fracd+n^d++c_dn^d+...+c_n+c_ für alle n in mathbbN gilt. Anders ausgedrückt: Summe der d-ten Potenzen ^d+...+n^d ist gleich den Funktionswerten eines Polynoms mit Grad d+ und Leitkoeffiient fracd+ ausgewertet bei xn.

Solution:
Beweis. Man behauptet dass es zu jedem Polynom pT in mathbbQT mit Grad d in mathbbN_ und führem Koeffizienten c ein Polynom PT in mathbbQT mit Grad d+ und führem Koeffizienten fraccd+ gibt s.d. _k^n pk Pn für alle n in mathbbN gilt. Die Aussage der Proposition ergibt sich aus dieser Behauptung als einfacher Spezialfall. Der Vorteil der verallgemeinerten Behauptung ist dass man ihn mittels Induktion über d in mathbbN_ beweisen können. Falls d so ist pc konstant obige Summe ist gleich cn Pn für das Polynom PT cT. Induktionsanfang Angenommen die Behauptung gilt bereits für Polynome vom Grad d in mathbbN_. Rightarrow Binomialsatz T-^d+ T^d+-d+choose T^d++-...+-^d+ T^d+-T-^d+ d+T^d++fT für ein Polynom fT in mathbbQT mit Grad d. Auf Grund der Induktionsannahme gibt es ein zugehöriges Polynom FT in mathbbQT mit Grad d+ s.d. _k^n fk Fn für alle n in mathbbN gilt. Man miert nun und verwet die Teleskopme: n^d+ _k^n k^d+-k-^d+ _k^n d+k^d++fk _k^n d+k^d++Fn und damit _k^n k^d+ fracd+n^d+-Fn für alle n in mathbbN. Sei nun pT in mathbbQT ein beliebiges Polynom mit Grad d+ und führem Koeffizienten c. Dann ist qTpT-cT^d+ ein Polynom mit Grad d. Nach Induktionsannahme gibt es daher ein Polynom QT in mathbbQT mit Grad d+ s.d. _k^n qk Qn für alle n in mahtbbN gilt. Gemeinsam mit Obigem ergibt sich nun _k^n pk _k^n ck^d++qk fraccd+n^d+-Fn+Qn Pn für alle n in mathbbN wobei PT fraccd+T^d+-FT+QTin mathbbQT Grad d+ und führen Koeffizienten fraccd+ hat. Dies beweist den Induktionsschritt und damit auch die Behauptung sowie die Proposition.