Euklidische Norm
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Exercise:
Beweisen Sie dass ||||_ eine Norm auf mathbbR^n definiert.
Solution:
Positive Definitheit und Homogenität sind erfüllt. Es verbleibt die Dreiecksungleichung zu zeigen. ||v+w||_^ _i^n |v_i+w_i|^ _i^n |v_i+w_i| |v_i+w_i| &leq _i^n |v_i+w_i| |v_i|+|w_i| Man verwet nun die Cauchy-Schwarz-Ungleichung um die Zwei Terme abzuschätzen _i^n |v_i+w_i| |v_i| &leq sqrt_i^n |v_i+w_i|^ sqrt_i^n |v_i| ||v+w||_ ||v||_ _i^n |v_i+w_i| |w_i| &leq sqrt_i^n |v_i+w_i|^ sqrt_i^n |w_i| ||v+w||_ ||w||_ Also ||v+w||_^ &leq _i^n |v_i+w_i| |v_i|+|w_i| &leq ||v+w||_ ||v||_ + ||v+w||_ ||w||_ ||v+w||_ ||v||_+||w||_ &Rightarrow ||v+w||_ leq ||v||_+||w||_
Beweisen Sie dass ||||_ eine Norm auf mathbbR^n definiert.
Solution:
Positive Definitheit und Homogenität sind erfüllt. Es verbleibt die Dreiecksungleichung zu zeigen. ||v+w||_^ _i^n |v_i+w_i|^ _i^n |v_i+w_i| |v_i+w_i| &leq _i^n |v_i+w_i| |v_i|+|w_i| Man verwet nun die Cauchy-Schwarz-Ungleichung um die Zwei Terme abzuschätzen _i^n |v_i+w_i| |v_i| &leq sqrt_i^n |v_i+w_i|^ sqrt_i^n |v_i| ||v+w||_ ||v||_ _i^n |v_i+w_i| |w_i| &leq sqrt_i^n |v_i+w_i|^ sqrt_i^n |w_i| ||v+w||_ ||w||_ Also ||v+w||_^ &leq _i^n |v_i+w_i| |v_i|+|w_i| &leq ||v+w||_ ||v||_ + ||v+w||_ ||w||_ ||v+w||_ ||v||_+||w||_ &Rightarrow ||v+w||_ leq ||v||_+||w||_