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Exercise:
Sei V|||| ein normierter Raum. Zeigen Sie dass durch dvw : ||v-w|| eine Metrik auf V definiert wird.

Solution:
Man muss einfach zeigen dass die drei Eigenschaften der definition einer Metrik erfüllt sind. Seien also vwz in V beliebig. itemize item Aus der Positivität der Norm folgt dvw ||v-w|| geq . Weiter dvw ||v-w|| iff v-w iff vw item Symmetrie folgt aus positiver Homogenität der Norm |||| denn dvw ||v-w|| ||- w-v|| |-|||w-v|| ||w-v|| dwv item Dreiecksungleichung für d folgt aus Dreiecksungleichung für |||| dvz ||v-z|| ||v-w+w-z|| ||v-w||||w-z|| dwv+dwz itemize
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Sei V|||| ein normierter Raum. Zeigen Sie dass durch dvw : ||v-w|| eine Metrik auf V definiert wird.

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Man muss einfach zeigen dass die drei Eigenschaften der definition einer Metrik erfüllt sind. Seien also vwz in V beliebig. itemize item Aus der Positivität der Norm folgt dvw ||v-w|| geq . Weiter dvw ||v-w|| iff v-w iff vw item Symmetrie folgt aus positiver Homogenität der Norm |||| denn dvw ||v-w|| ||- w-v|| |-|||w-v|| ||w-v|| dwv item Dreiecksungleichung für d folgt aus Dreiecksungleichung für |||| dvz ||v-z|| ||v-w+w-z|| ||v-w||||w-z|| dwv+dwz itemize
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Tags
analysis, beweis, eth, hs22, metrik, proof
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration
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