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Exercise:
Seien a b in mathbbR f:ab rightarrow mathbbR eine R-bare Funktion und mathcalI eine additive Intervallfunktion auf ab. Angenommen es gilt beta -alpha textinf_x in alphabeta fx leq mathcalIalphabeta leq beta-alpha textsup_x in alphabeta fx für alle alpha beta in ab. Dann ist mathcalIalphabeta _alpha^beta fx ddx für alle alphabeta in ab.

Solution:
Beweis. Sei uleq f eine Treppenfunktion auf ab mit Zerlegung zeta ax_ ... x_nbeta in Konstanzervalle von u. Seien c_...c_n die Konstanzwerte von u bezüglich zeta. Auf Grund der Annahme uleq f folgt c_k leq textinf_x in x_k-x_kfx für alle k in ...n. Unter Verwung der Additivität von mathcalI erhält man damit für die Unterme _alpha^beta ux ddx _k^n c_kx_k-x_k- &leq _k^n x_k-x_k- textinf_x in x_k-x_kfx &leq _k^n mathcalIx_k--x_k mathcalIalpha beta Ebenso ergibt sich mathcalIalpha beta leq _alpha^beta ox ddx für jede Treppenfunktion o mit f leq o. Daher gelten für das untere Integral underlineI und das obere Integral overlineI von f über alpha beta die Ungleichungen underlineIleq mathcalIalphabetaleq overlineI. Da f aber R-bar ist gilt underlineI overlineI und somit mathcalIalphabeta _alpha^beta fx ddx.
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Seien a b in mathbbR f:ab rightarrow mathbbR eine R-bare Funktion und mathcalI eine additive Intervallfunktion auf ab. Angenommen es gilt beta -alpha textinf_x in alphabeta fx leq mathcalIalphabeta leq beta-alpha textsup_x in alphabeta fx für alle alpha beta in ab. Dann ist mathcalIalphabeta _alpha^beta fx ddx für alle alphabeta in ab.

Solution:
Beweis. Sei uleq f eine Treppenfunktion auf ab mit Zerlegung zeta ax_ ... x_nbeta in Konstanzervalle von u. Seien c_...c_n die Konstanzwerte von u bezüglich zeta. Auf Grund der Annahme uleq f folgt c_k leq textinf_x in x_k-x_kfx für alle k in ...n. Unter Verwung der Additivität von mathcalI erhält man damit für die Unterme _alpha^beta ux ddx _k^n c_kx_k-x_k- &leq _k^n x_k-x_k- textinf_x in x_k-x_kfx &leq _k^n mathcalIx_k--x_k mathcalIalpha beta Ebenso ergibt sich mathcalIalpha beta leq _alpha^beta ox ddx für jede Treppenfunktion o mit f leq o. Daher gelten für das untere Integral underlineI und das obere Integral overlineI von f über alpha beta die Ungleichungen underlineIleq mathcalIalphabetaleq overlineI. Da f aber R-bar ist gilt underlineI overlineI und somit mathcalIalphabeta _alpha^beta fx ddx.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, integralrechnung, proof, riemann
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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