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Exercise:
Beispiel für eine nicht-Riemann-egrierbare Funktion?

Solution:
Man betrachte die sogenannte Dirichlet-Funktion das heisst die charakteristische Funktion f _mathbbQcap:rightarrow x mapsto cases quad x in mathbbQ quad x in mathbbQ cases Die Behauptung ist dass diese nicht R-bar ist. Dazu berechnet man das untere und das obere Integral von f. Sei o in mathcalTFab mit f leq o. Sei zeta x_ x_ ... x_n eine Zerlegung in Konstanzervalle von o. Sei k in ...n und c_k in mathbbR mit oxc_k für alle x in x_k- x_k. Da mathbbQ dicht in mathbbR ist existiert ein x in x_k- x_k mit x in mathbbQ. Wegen fleq o gilt fxleq oxc_k. Somit gilt _^ ox ddx _k^n c_kx_k-x_k- geq _k^n x_k-x_k- x_n-x_ unter Verwung der Teleskopme. Damit ist das obere Integral von f durch gegeben da die Treppenfunktion mit konstantem Wert Integral hat und o beliebig war. Ähnlich zeigt man dass das untere Integral von f durch gegeben ist. Somit ist f nicht R-bar.
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Beispiel für eine nicht-Riemann-egrierbare Funktion?

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Man betrachte die sogenannte Dirichlet-Funktion das heisst die charakteristische Funktion f _mathbbQcap:rightarrow x mapsto cases quad x in mathbbQ quad x in mathbbQ cases Die Behauptung ist dass diese nicht R-bar ist. Dazu berechnet man das untere und das obere Integral von f. Sei o in mathcalTFab mit f leq o. Sei zeta x_ x_ ... x_n eine Zerlegung in Konstanzervalle von o. Sei k in ...n und c_k in mathbbR mit oxc_k für alle x in x_k- x_k. Da mathbbQ dicht in mathbbR ist existiert ein x in x_k- x_k mit x in mathbbQ. Wegen fleq o gilt fxleq oxc_k. Somit gilt _^ ox ddx _k^n c_kx_k-x_k- geq _k^n x_k-x_k- x_n-x_ unter Verwung der Teleskopme. Damit ist das obere Integral von f durch gegeben da die Treppenfunktion mit konstantem Wert Integral hat und o beliebig war. Ähnlich zeigt man dass das untere Integral von f durch gegeben ist. Somit ist f nicht R-bar.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, eth, hs22, integralrechnung, riemann
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Descriptive / Quality
Decoration
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