Monotonie des Riemann-Integrals
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
No explanation / solution video to this exercise has yet been created.
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Exercise:
Für zwei Funktionen f_f_ in mathcalRab gelten folge MonotoniEigenschaften des Riemann-Integrals: abcliste abc Falls f_ geq ist so gilt _a^b f_xddx geq . abc Falls f_ leq f_ ist so gilt _a^b f_xddx leq _a^b f_xddx. abc Die Funktion |f_| ist R-bar auf ab und es gilt die Dreiecksungleichung left|_a^b f_xddxright|leq _a^b |f_x|ddx Vorstellung Nettofläche kleiner gleich Flächenbilanz abcliste
Solution:
Beweis. Für f_ geq wie in a ist die konstante Funktion u eine Treppenfunktion mit uleq f_ und _a^b uxddx leq textsupmathcalUf_ underlineIf_ _a^b fxddx folgt. Falls f_ leq f_ wie in b gilt so ist f_-f_ geq und _a^b f_xddx-_a^b f_xddx _a^b f_x-f_xddx geq nach Linearität des Riemann-Integrals Satz . und Teil a. Dies zeigt b. Für c will man zuerst zeigen dass für ein f in mathcalRab auch f^+ R-bar ist. Dazu bemerkt man zuerst dass für st in mathbbR die Ungleichung s leq t impliziert dass s^+ textmaxsleq t^+ textmaxt und t^+ - s^+ leq t-s Dies ergibt sich aus der Unterscheidung der Fälle sleq t leq sleq t und s leq t. Da f R-bar ist gibt es nach Proposition . c zu jedem epsilon zwei Treppenfunktionen uo in mathcalTFab mit uleq f leq o und _a^b o-uxddx epsilon. Verknüpft man diese mit Funktion t in mathbbR mapsto t^+ in mathbbR so ergibt sich u^+ leq f^+ leq o^+ o^+ - u^+ leq o-u und daher nach b auch _a^b o^+-u^+xddx leq _a^b o-uxddx epsilon Allerdings sind u^+ o^+ wieder Treppenfunktionen. Nach der dritten Charakterisierung in Proposition . ergibt sich somit dass f^+ R-bar ist da epsilon beliebig war. Mittels Satz . erhält man dass |f| f^+ - f auch R-bar ist. Aus f leq |f| und -f leq |f| folgt aus b nun _a^b fxddx leq _a^b |fx|ddx _a^b -fxddx leq _a^b |fx|ddx was zur Dreiecksungleichung äquivalent ist.
Für zwei Funktionen f_f_ in mathcalRab gelten folge MonotoniEigenschaften des Riemann-Integrals: abcliste abc Falls f_ geq ist so gilt _a^b f_xddx geq . abc Falls f_ leq f_ ist so gilt _a^b f_xddx leq _a^b f_xddx. abc Die Funktion |f_| ist R-bar auf ab und es gilt die Dreiecksungleichung left|_a^b f_xddxright|leq _a^b |f_x|ddx Vorstellung Nettofläche kleiner gleich Flächenbilanz abcliste
Solution:
Beweis. Für f_ geq wie in a ist die konstante Funktion u eine Treppenfunktion mit uleq f_ und _a^b uxddx leq textsupmathcalUf_ underlineIf_ _a^b fxddx folgt. Falls f_ leq f_ wie in b gilt so ist f_-f_ geq und _a^b f_xddx-_a^b f_xddx _a^b f_x-f_xddx geq nach Linearität des Riemann-Integrals Satz . und Teil a. Dies zeigt b. Für c will man zuerst zeigen dass für ein f in mathcalRab auch f^+ R-bar ist. Dazu bemerkt man zuerst dass für st in mathbbR die Ungleichung s leq t impliziert dass s^+ textmaxsleq t^+ textmaxt und t^+ - s^+ leq t-s Dies ergibt sich aus der Unterscheidung der Fälle sleq t leq sleq t und s leq t. Da f R-bar ist gibt es nach Proposition . c zu jedem epsilon zwei Treppenfunktionen uo in mathcalTFab mit uleq f leq o und _a^b o-uxddx epsilon. Verknüpft man diese mit Funktion t in mathbbR mapsto t^+ in mathbbR so ergibt sich u^+ leq f^+ leq o^+ o^+ - u^+ leq o-u und daher nach b auch _a^b o^+-u^+xddx leq _a^b o-uxddx epsilon Allerdings sind u^+ o^+ wieder Treppenfunktionen. Nach der dritten Charakterisierung in Proposition . ergibt sich somit dass f^+ R-bar ist da epsilon beliebig war. Mittels Satz . erhält man dass |f| f^+ - f auch R-bar ist. Aus f leq |f| und -f leq |f| folgt aus b nun _a^b fxddx leq _a^b |fx|ddx _a^b -fxddx leq _a^b |fx|ddx was zur Dreiecksungleichung äquivalent ist.