Exercise:
Sei I subseteq mathbbR ein Intervall mit Endpunkten a b und x_ in I kein Endpunkt von I. Sei f:I rightarrow mathbbR stetig und zumindest auf Ibacklash x_ stetig differenzierbar. itemize item Angenommen der linke Endpunkt a liegt in I. - Falls f'a dann nimmt f in a ein isoliertes lokales Minimum an. - Falls f'a dann nimmt f in a ein isoliertes lokales Maximum an. item Beim Punkt x_ gilt - Falls ein delta existiert s.d. f'x für alle x in x_-delta x_+deltabackslash x_ oder f'x für alle x in x_-delta x_+deltabackslash x_ dann nimmt f in x_ kein lokales Extremum an. - Falls ein delta existiert s.d. f'x für alle x in x_-delta x_ dann nimmt f in x_ ein isoliertes lokales Maximum an. - Falls ein delta existiert s.d. f'x für alle x in x_ x_+delta dann nimmt f in x_ ein isoliertes lokales Minimum an. - Falls f auf ganz I zweimal stetig diffbar ist und f'x_ sowie f''x_ dann nimmt f in x_ ein isoliertes lokales Maximum an. - Falls f auf ganz I zweimal stetig diffbar ist und f'x_ sowie f''x_ dann nimmt f in x_ ein isoliertes lokales Minimum an. item Angenommen der rechte Endpunkt b liegt in I - Falls f'b erfüllt ist dann nimmt f in b ein isoliertes lokales Maximum an. - Falls f'b erfüllt ist dann nimmt f in b ein isoliertes lokales Minimum an. itemize

Solution:
Beweis. Beweise alle ähnlich beruhen auf Mittelwertsatz. Sei a in I der linke Endpunkt und angenommen f'a . Dann existiert wegen der Stetigkeit von f' ein delta s.d. für alle x in a a+delta ebenso f'x gilt. Für jedes x in a a+delta existiert nun nach dem Mittelwertsatz ein xi in ax mit fx-fa f'xix-a Dies zeigt dass f in a ein lokales Minimum annimmt. Der Fall f'a ergibt sich analog. Ebenfalls analog ist das Argument für die Aussagen beim rechten Endpunkt. Für x_ gilt auf Grund des gleichen Arguments für jede delta . forall x in x_-delta x_:f'x Longrightarrow forall x in x_-delta x_:fx fx_ forall x in x_ x_+delta:f'x Longrightarrow forall x in x_ x_x_+delta:fx fx_ forall x in x_-delta x_:f'x Longrightarrow forall x in x_-delta x_:fx fx_ forall x in x_ x_+delta:f'x Longrightarrow forall x in x_ x_x_+delta:fx fx_ Durch Kombination dieser Aussagen ergeben sich das erste zweite und dritte Kriterium für x_. Angenommen f ist auf ganz I zweimal stetig diffbar und f'x_ sowie f''x_ sind erfüllt. Dann existiert ein delta s.d. f''x_ für alle x in x_-delta x_+delta. Nach Korolar . ist f'|_x_-deltax_+delta streng monoton fall und somit nimmt f nach dem zweiten Kriterium für x_ in x_ ein isoliertes lokales Maximum an. Das letzte Kriterium folgt analog.