Binomischer Lehrsatz
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Exercise:
Zeigen Sie: Für w z in mathbbC und n in mathbbN_ gilt w+z^n _k^n nchoose k w^n-kz^k
Solution:
Beweis mittels vollständiger Induktion. bf Induktionsverankerung n: Aussage gilt da w+z^ _k^ w^-kz^k Angenommen die Aussage des Satzes gilt für ein n in mathbbN_. Dann erhält man w+z^n+ w+z^nw+z left_k^n nchoose k w^n-kz^krightw+z _k^n nchoose k w^n+-kz^k+_k^n nchoose k w^n-kz^k+ w^n++_k^n nchoose k w^n+-kz^k+_j^n- nchoose j w^n-jz^j++z^n+ w^n++_k^n nchoose k w^n+-kz^k+_k^n- nchoose k- w^n+-kz^k+z^n+ w^n++_k^n n+ choose k w^n+-kz^k+z^n+ _k^n+ n+ choose k w^n+-kz^k Verwung von Indexverschiebung und Additionsformel
Zeigen Sie: Für w z in mathbbC und n in mathbbN_ gilt w+z^n _k^n nchoose k w^n-kz^k
Solution:
Beweis mittels vollständiger Induktion. bf Induktionsverankerung n: Aussage gilt da w+z^ _k^ w^-kz^k Angenommen die Aussage des Satzes gilt für ein n in mathbbN_. Dann erhält man w+z^n+ w+z^nw+z left_k^n nchoose k w^n-kz^krightw+z _k^n nchoose k w^n+-kz^k+_k^n nchoose k w^n-kz^k+ w^n++_k^n nchoose k w^n+-kz^k+_j^n- nchoose j w^n-jz^j++z^n+ w^n++_k^n nchoose k w^n+-kz^k+_k^n- nchoose k- w^n+-kz^k+z^n+ w^n++_k^n n+ choose k w^n+-kz^k+z^n+ _k^n+ n+ choose k w^n+-kz^k Verwung von Indexverschiebung und Additionsformel