Exercise:
Beweisen Sie die folge Aussage: Sei fT in mathbbCT ein nicht-konstantes Polynom. Dann gibt es zu jeder positiven reellen Zahl M eine reelle Zahl R geq so dass für alle z in mathbbC mit |z| geq R auch |fz|geq M gilt. Insbesondere ist die Zuordnung die jedem Polynom fT in mathbbCT die zugehörige Polynomfunktion z in mathbbC mapsto fz in mathbbC zuweist bijektiv. Dies gilt analog ebenso für reelle Polynome fT in mathbbRT und reelle Polynomfunktionen x in mathbbRmapsto fz in mathbbR. Intuitiver ausgedrückt: Ein nicht-konstantes Polynom nimmt bei glqq grossengrqq z in mathbbC auch grosse Werte an.

Solution:
Beweis. Sei fT textcolorbluea_nT^n + textcolorvioleta_n-T^n-+...+a_T+a_ in mathbbCT mit a_n neq und ngeq . Man definiere qT in mathbbCT durch textcolorvioletqT a_n-T^n-+...+a_T+a_ womit fT textcolorbluea_nT^n+textcolorvioletqT. Nun kann man behaupten dass die Polynomfunktion qz glqq langsamergrqq wächst als a_nz^n. Anschliess kann man also |qz| für z in mathbbC mit |z|geq nach oben ab: |qz||a_n-z^n-+...+a_z+a_| &leq|a_n-z^n-|+...+|a_z|+|a_|quad textDreiecksungleichung |a_n-||z^n-|+...+|a_||z|+|a_| &leq textcolorgreen|a_n-|+...+|a_|+|a_||z|^n- textcolorgreenA|z|^n- Hierbei wurde |z|geq in der Form |z|^kleq |z|^n- gesetzt für k in ...n-. Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung und fz textcolorbluea_nz^n+textcolorvioletqz gilt somit |fz|&geq|a_nz^n|-|qz|geq|a_n||z|^n-A|z|^n- |a_n-z^n-|+...+|a_z|+|a_| |a_n||z|-A|z|^n- geq |a_n||z|-A falls |a_n||z|-A geq oder äquivalenterweise |z| geq fracA|a_n|. Sei nun M beliebig. Dann wählt man R textmaxleft fracA|a_n| fracA+M|a_n|right Falls nun z in mathbbC die Ungleichung |z| geq R erfüllt dann gilt |z| geq und |z| geq fracA|a_n| wonach obige Ungleichungen ergeben |fz|geq |a_n||z|-A geq |a_n|fracA+M|a_n|-A M was die erste Behauptung beweist. Angenommen f_T f_T in mathbbCT sind zwei Polynome die f_zf_z für alle z in mathbbC erfüllen. Dann hat das Polynom gT f_T-f_T die Eigenschaft dass gz für alle z in mathbbC gilt. Falls der Grad des Polynoms gT grösser gleich Eins ist widerspricht dies dem ersten Teil der Proposition. Also ist gT konstant womit gT gelten muss und daher sind die Polynome f_T und f_T identisch d.h. haben gleichen Grad und gleiche Koeffizienten. Analoger Beweis für reelle Polynome und die zugehörigen Polynomfunktionen.