Integrierbarkeit monotoner Funktionen
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
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Exercise:
Jede monotone Funktion in mathcalFab ist R-bar.
Solution:
Beweis. O.B.d.A. kann man eine monoton wachse Funktion f in mathcalFab betrachten ansonsten ersetzt man f mit -f und wet Satz . an. Man kann nun die dritte Charakterisierung in Proposition . anwen. Das heisst man will für ein gegebenes espilon zwei Treppenfunktionen uo in mathcalTFab finden s.d. uleq fleq o und _a^b o-ux ddx epsilon gilt. Man konstruiert u und o mittels einer natürlichen Zahl n in mathbbN und der Zerlegung zeta ax_ x_ ... x_nb von ab gegeben durch x_k a+fracb-ank für k in ...n. Seien uo gegeben durch ux cases fx_k-quad textfalls x in x_k-x_kquad textfür ein kin...n fb textfalls xbcases respektive ox cases faquad textfalls xa fx_k textfalls x in x_k-x_kquad textfür ein kin...ncases für alle x in ab. Da f ptpm wachs ist gilt u leq f leq o. in der Tat ist für x in ab entweder xb womit ux fx oder es gibt ein kin...n mit x in x_k-x_k. In letzterem Fall erhält man ux fx_k- leq fx und somit gilt u leq f. Ein analoges Argument liefert f leq o. Des Weiteren gilt _a^b o-ux ddx _k^n fx_k-fx_k-x_k-x_k- _k^n fx_k-fx_k-fracb-an fracb-an_k^n fx_k-fx_k- fracb-anfb-fa Nach Vereinfachen der Teleskopme. Nach dem Archimedischen Prinzip kann man nun ein n so wählen s.d. _a^b o-ux ddx epsilon ist. Aus Proposition . c folgt somit dass f R-bar ist.
Jede monotone Funktion in mathcalFab ist R-bar.
Solution:
Beweis. O.B.d.A. kann man eine monoton wachse Funktion f in mathcalFab betrachten ansonsten ersetzt man f mit -f und wet Satz . an. Man kann nun die dritte Charakterisierung in Proposition . anwen. Das heisst man will für ein gegebenes espilon zwei Treppenfunktionen uo in mathcalTFab finden s.d. uleq fleq o und _a^b o-ux ddx epsilon gilt. Man konstruiert u und o mittels einer natürlichen Zahl n in mathbbN und der Zerlegung zeta ax_ x_ ... x_nb von ab gegeben durch x_k a+fracb-ank für k in ...n. Seien uo gegeben durch ux cases fx_k-quad textfalls x in x_k-x_kquad textfür ein kin...n fb textfalls xbcases respektive ox cases faquad textfalls xa fx_k textfalls x in x_k-x_kquad textfür ein kin...ncases für alle x in ab. Da f ptpm wachs ist gilt u leq f leq o. in der Tat ist für x in ab entweder xb womit ux fx oder es gibt ein kin...n mit x in x_k-x_k. In letzterem Fall erhält man ux fx_k- leq fx und somit gilt u leq f. Ein analoges Argument liefert f leq o. Des Weiteren gilt _a^b o-ux ddx _k^n fx_k-fx_k-x_k-x_k- _k^n fx_k-fx_k-fracb-an fracb-an_k^n fx_k-fx_k- fracb-anfb-fa Nach Vereinfachen der Teleskopme. Nach dem Archimedischen Prinzip kann man nun ein n so wählen s.d. _a^b o-ux ddx epsilon ist. Aus Proposition . c folgt somit dass f R-bar ist.
Meta Information
Exercise:
Jede monotone Funktion in mathcalFab ist R-bar.
Solution:
Beweis. O.B.d.A. kann man eine monoton wachse Funktion f in mathcalFab betrachten ansonsten ersetzt man f mit -f und wet Satz . an. Man kann nun die dritte Charakterisierung in Proposition . anwen. Das heisst man will für ein gegebenes espilon zwei Treppenfunktionen uo in mathcalTFab finden s.d. uleq fleq o und _a^b o-ux ddx epsilon gilt. Man konstruiert u und o mittels einer natürlichen Zahl n in mathbbN und der Zerlegung zeta ax_ x_ ... x_nb von ab gegeben durch x_k a+fracb-ank für k in ...n. Seien uo gegeben durch ux cases fx_k-quad textfalls x in x_k-x_kquad textfür ein kin...n fb textfalls xbcases respektive ox cases faquad textfalls xa fx_k textfalls x in x_k-x_kquad textfür ein kin...ncases für alle x in ab. Da f ptpm wachs ist gilt u leq f leq o. in der Tat ist für x in ab entweder xb womit ux fx oder es gibt ein kin...n mit x in x_k-x_k. In letzterem Fall erhält man ux fx_k- leq fx und somit gilt u leq f. Ein analoges Argument liefert f leq o. Des Weiteren gilt _a^b o-ux ddx _k^n fx_k-fx_k-x_k-x_k- _k^n fx_k-fx_k-fracb-an fracb-an_k^n fx_k-fx_k- fracb-anfb-fa Nach Vereinfachen der Teleskopme. Nach dem Archimedischen Prinzip kann man nun ein n so wählen s.d. _a^b o-ux ddx epsilon ist. Aus Proposition . c folgt somit dass f R-bar ist.
Jede monotone Funktion in mathcalFab ist R-bar.
Solution:
Beweis. O.B.d.A. kann man eine monoton wachse Funktion f in mathcalFab betrachten ansonsten ersetzt man f mit -f und wet Satz . an. Man kann nun die dritte Charakterisierung in Proposition . anwen. Das heisst man will für ein gegebenes espilon zwei Treppenfunktionen uo in mathcalTFab finden s.d. uleq fleq o und _a^b o-ux ddx epsilon gilt. Man konstruiert u und o mittels einer natürlichen Zahl n in mathbbN und der Zerlegung zeta ax_ x_ ... x_nb von ab gegeben durch x_k a+fracb-ank für k in ...n. Seien uo gegeben durch ux cases fx_k-quad textfalls x in x_k-x_kquad textfür ein kin...n fb textfalls xbcases respektive ox cases faquad textfalls xa fx_k textfalls x in x_k-x_kquad textfür ein kin...ncases für alle x in ab. Da f ptpm wachs ist gilt u leq f leq o. in der Tat ist für x in ab entweder xb womit ux fx oder es gibt ein kin...n mit x in x_k-x_k. In letzterem Fall erhält man ux fx_k- leq fx und somit gilt u leq f. Ein analoges Argument liefert f leq o. Des Weiteren gilt _a^b o-ux ddx _k^n fx_k-fx_k-x_k-x_k- _k^n fx_k-fx_k-fracb-an fracb-an_k^n fx_k-fx_k- fracb-anfb-fa Nach Vereinfachen der Teleskopme. Nach dem Archimedischen Prinzip kann man nun ein n so wählen s.d. _a^b o-ux ddx epsilon ist. Aus Proposition . c folgt somit dass f R-bar ist.
Contained in these collections
| Title | Creator | Matched on |
|---|---|---|
| Beweis Integrationskonstante | rk | tags |
| Monotonie des Integrals von Treppenfunktionen | rk | tags |
| Integrationskonstante | rk | tags |
| Linearität des Riemann-Integrals | rk | tags |
| Integration von Potenzreihen | rk | tags |

