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Exercise:
Jede monotone Funktion in mathcalFab ist R-bar.

Solution:
Beweis. O.B.d.A. kann man eine monoton wachse Funktion f in mathcalFab betrachten ansonsten ersetzt man f mit -f und wet Satz . an. Man kann nun die dritte Charakterisierung in Proposition . anwen. Das heisst man will für ein gegebenes espilon zwei Treppenfunktionen uo in mathcalTFab finden s.d. uleq fleq o und _a^b o-ux ddx epsilon gilt. Man konstruiert u und o mittels einer natürlichen Zahl n in mathbbN und der Zerlegung zeta ax_ x_ ... x_nb von ab gegeben durch x_k a+fracb-ank für k in ...n. Seien uo gegeben durch ux cases fx_k-quad textfalls x in x_k-x_kquad textfür ein kin...n fb textfalls xbcases respektive ox cases faquad textfalls xa fx_k textfalls x in x_k-x_kquad textfür ein kin...ncases für alle x in ab. Da f ptpm wachs ist gilt u leq f leq o. in der Tat ist für x in ab entweder xb womit ux fx oder es gibt ein kin...n mit x in x_k-x_k. In letzterem Fall erhält man ux fx_k- leq fx und somit gilt u leq f. Ein analoges Argument liefert f leq o. Des Weiteren gilt _a^b o-ux ddx _k^n fx_k-fx_k-x_k-x_k- _k^n fx_k-fx_k-fracb-an fracb-an_k^n fx_k-fx_k- fracb-anfb-fa Nach Vereinfachen der Teleskopme. Nach dem Archimedischen Prinzip kann man nun ein n so wählen s.d. _a^b o-ux ddx epsilon ist. Aus Proposition . c folgt somit dass f R-bar ist.
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Jede monotone Funktion in mathcalFab ist R-bar.

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Beweis. O.B.d.A. kann man eine monoton wachse Funktion f in mathcalFab betrachten ansonsten ersetzt man f mit -f und wet Satz . an. Man kann nun die dritte Charakterisierung in Proposition . anwen. Das heisst man will für ein gegebenes espilon zwei Treppenfunktionen uo in mathcalTFab finden s.d. uleq fleq o und _a^b o-ux ddx epsilon gilt. Man konstruiert u und o mittels einer natürlichen Zahl n in mathbbN und der Zerlegung zeta ax_ x_ ... x_nb von ab gegeben durch x_k a+fracb-ank für k in ...n. Seien uo gegeben durch ux cases fx_k-quad textfalls x in x_k-x_kquad textfür ein kin...n fb textfalls xbcases respektive ox cases faquad textfalls xa fx_k textfalls x in x_k-x_kquad textfür ein kin...ncases für alle x in ab. Da f ptpm wachs ist gilt u leq f leq o. in der Tat ist für x in ab entweder xb womit ux fx oder es gibt ein kin...n mit x in x_k-x_k. In letzterem Fall erhält man ux fx_k- leq fx und somit gilt u leq f. Ein analoges Argument liefert f leq o. Des Weiteren gilt _a^b o-ux ddx _k^n fx_k-fx_k-x_k-x_k- _k^n fx_k-fx_k-fracb-an fracb-an_k^n fx_k-fx_k- fracb-anfb-fa Nach Vereinfachen der Teleskopme. Nach dem Archimedischen Prinzip kann man nun ein n so wählen s.d. _a^b o-ux ddx epsilon ist. Aus Proposition . c folgt somit dass f R-bar ist.
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Tags
analysis, beweis, eth, funktion, hs22, integralrechnung, proof
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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