Existenz von Häufungspunkten
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
No explanation / solution video to this exercise has yet been created.
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Exercise:
Beweisen Sie folge Aussage: Sei A subseteq mathbbR eine beschränkte unliche Teilmenge. Dann existiert ein Häufungspunkt von A in mathbbR.
Solution:
Beweis. Angenommen m M in mathbbR erfüllen A subseteq m M. Man definiere X x in mathbbR | | A cap-inftyx|infty Dann ist m in X da |Acap -inftym|leq Kardinalität ist wenn m in A ansonsten . Des Weiteren gilt x M für jedes x in X denn für x geq M ist A cap-infty MA eine unliche Menge nach Annahme im Satz. Daher ist X eine beschränkte nicht-leere Teilmenge von mathbbR womit das Supremum x_ textsupX nach Satz . Supremum existiert. Sei nun epsilon . Dann existiert ein x in X mit x x_-epsilon was zeigt dass A cap -infty x_-epsilon eine liche Menge ist da Acap -infty x_-epsilon subseteq A cap -inftyx gilt. Des Weiteren gilt x_+epsilon notin X auf Grund der Definition von x_. Damit ist die Kardinalität von Acap -infty x_ + epsilon unlich. Es folgt dass Acap x_-epsilon x_+epsilon A cap -inftyx_+epsilonbackslash Acap -infty x_-epsilon eine unliche Menge ist und abgesehen von möglicherweise x_ x_+epsilon noch weitere Punkte besitzen muss. Da epsilon beliebig war sehen wir dass x_ ein Häufungspunkt der Menge A ist.
Beweisen Sie folge Aussage: Sei A subseteq mathbbR eine beschränkte unliche Teilmenge. Dann existiert ein Häufungspunkt von A in mathbbR.
Solution:
Beweis. Angenommen m M in mathbbR erfüllen A subseteq m M. Man definiere X x in mathbbR | | A cap-inftyx|infty Dann ist m in X da |Acap -inftym|leq Kardinalität ist wenn m in A ansonsten . Des Weiteren gilt x M für jedes x in X denn für x geq M ist A cap-infty MA eine unliche Menge nach Annahme im Satz. Daher ist X eine beschränkte nicht-leere Teilmenge von mathbbR womit das Supremum x_ textsupX nach Satz . Supremum existiert. Sei nun epsilon . Dann existiert ein x in X mit x x_-epsilon was zeigt dass A cap -infty x_-epsilon eine liche Menge ist da Acap -infty x_-epsilon subseteq A cap -inftyx gilt. Des Weiteren gilt x_+epsilon notin X auf Grund der Definition von x_. Damit ist die Kardinalität von Acap -infty x_ + epsilon unlich. Es folgt dass Acap x_-epsilon x_+epsilon A cap -inftyx_+epsilonbackslash Acap -infty x_-epsilon eine unliche Menge ist und abgesehen von möglicherweise x_ x_+epsilon noch weitere Punkte besitzen muss. Da epsilon beliebig war sehen wir dass x_ ein Häufungspunkt der Menge A ist.