Cauchy-Schwarz-Ungleichung
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Exercise:
Sei d in mathbbN und VmathbbC^d. Dann gilt für alle bf v w in V die Ungleichung |langle vwrangle| leq ||v||||w|| auch geschrieben als _i^n |v_i||w_i| leq sqrt _i^n |v_i|^ sqrt _i^n |w_i|^ Des Weiteren gilt Gleichheit genau dann wenn bf v w linear abhängig sind.
Solution:
Für v oder w ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung erfüllt weil leq . Also betrachtet man vw neq . Zu Beginn bemerkt man dass für alle xy in mathbbR gilt x-y^ geq quad Rightarrow xy leq x^+y^ Nun benutzt man die zusammen mit: x:frac|v_i|||v||_ quad x:frac|w_i|||w||_ Man erhält damit xy leq x^+y^ Rightarrow frac|v_i||w_i|||v||_||w||_ leq frac|v_i|^||v||_^+frac|w_i|^||w||_^ Man miert nun auf beiden Seiten über i...n und erhält _i^n frac|v_i||w_i|||v||_||w||_ frac||v||_||w||__i^n |v_i||w_i| leq _i^nfrac|v_i|^||v||_^+_i^nfrac|w_i|^||w||_^ frac||v_i||_^||v||_^+frac||w||_^||w||_^ + Also frac||v||_||w||__i^n |v_i||w_i| leq Rightarrow _i^n |v_i||w_i| leq ||v||||w||
Sei d in mathbbN und VmathbbC^d. Dann gilt für alle bf v w in V die Ungleichung |langle vwrangle| leq ||v||||w|| auch geschrieben als _i^n |v_i||w_i| leq sqrt _i^n |v_i|^ sqrt _i^n |w_i|^ Des Weiteren gilt Gleichheit genau dann wenn bf v w linear abhängig sind.
Solution:
Für v oder w ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung erfüllt weil leq . Also betrachtet man vw neq . Zu Beginn bemerkt man dass für alle xy in mathbbR gilt x-y^ geq quad Rightarrow xy leq x^+y^ Nun benutzt man die zusammen mit: x:frac|v_i|||v||_ quad x:frac|w_i|||w||_ Man erhält damit xy leq x^+y^ Rightarrow frac|v_i||w_i|||v||_||w||_ leq frac|v_i|^||v||_^+frac|w_i|^||w||_^ Man miert nun auf beiden Seiten über i...n und erhält _i^n frac|v_i||w_i|||v||_||w||_ frac||v||_||w||__i^n |v_i||w_i| leq _i^nfrac|v_i|^||v||_^+_i^nfrac|w_i|^||w||_^ frac||v_i||_^||v||_^+frac||w||_^||w||_^ + Also frac||v||_||w||__i^n |v_i||w_i| leq Rightarrow _i^n |v_i||w_i| leq ||v||||w||