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Exercise:
Beweisen Sie folge Identität: Seien AB subset mathbbR zwei nicht-leere von oben beschränkte Teilmengen von mathbbR. Dann ist A+B von oben beschränkt und es gilt textsupA+B textsupA+ textsupB.

Solution:
Beweis. Wir definieren s_AtextsupA und s_BtextsupB. Dann gilt a leq s_A und b leq s_B für alle a in A und b in B was a+b leq s_A+s_B für alle a in A und b in B impliziert. Da aber jedes Element von A+B von dieser Form ist erhalten wir dass s_A+s_B eine obere Schranke von A+B ist und dass A+B von oben beschränkt ist. Sei epsilon . Dann existiert nach Satz . Supremum ein a in A mit a s_A - fracepsilon und ein b in B mit b s_B - fracepsilon was wiederum a+b s_A+s_B-epsilon impliziert. Dies zeigt die zweite charakterisiere Eigenschaft von supA+B in Satz . und wir erhalten textsupA+B s_A+s_B textsupA+textsupB.
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Exercise:
Beweisen Sie folge Identität: Seien AB subset mathbbR zwei nicht-leere von oben beschränkte Teilmengen von mathbbR. Dann ist A+B von oben beschränkt und es gilt textsupA+B textsupA+ textsupB.

Solution:
Beweis. Wir definieren s_AtextsupA und s_BtextsupB. Dann gilt a leq s_A und b leq s_B für alle a in A und b in B was a+b leq s_A+s_B für alle a in A und b in B impliziert. Da aber jedes Element von A+B von dieser Form ist erhalten wir dass s_A+s_B eine obere Schranke von A+B ist und dass A+B von oben beschränkt ist. Sei epsilon . Dann existiert nach Satz . Supremum ein a in A mit a s_A - fracepsilon und ein b in B mit b s_B - fracepsilon was wiederum a+b s_A+s_B-epsilon impliziert. Dies zeigt die zweite charakterisiere Eigenschaft von supA+B in Satz . und wir erhalten textsupA+B s_A+s_B textsupA+textsupB.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, proof, supremum
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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