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Exercise:
Eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ab mit a b ist R-bar.

Solution:
Beweis. Sei f in Cab und epsilon . Nach Satz . ist f gleichmässig stetig und es gibt ein delta s.d. für alle xy in ab gilt |x-y| delta Longrightarrow |fx-fx_| epsilon. Sei zeta ax_ x_ ... x_nb eine Zerlegung von ab mit textmax_k...n |x_k-x_k-| delta Zum Beispiel kann man die Zerlegung durch x_k a+kfracb-an für k...n und ein hinreich grosses n in mathbbN definieren. Man definiert für jedes k in ...n die Zahlen m_k textmin f|x_k- x_k| M_k textmax f|x_k- x_k| wobei man Korollar . für die Existenz von Minimum un Maximum verwet. Man behauptet nun dass für alle k in ...n M_k-m_k epsilon gilt. In der Tat ist m_k fz_min und M_k fz_max für z_min z_max in x_k- x_k. Da aber x_k-x_k- delta ist hat man auch |z_min-z_max| delta. Auf Grund der Wahl von delta mit erhält man also die Behauptung M_k-m_k fz_max-fz_min epsilon. Man definiert nun Treppenfunktionen uo durch ux cases m_kquad textfalls x in x_k- x_k textfür k in ...n m_n textfalls x bcases ox cases M_kquad textfalls x in x_k- x_k textfür k in ...n M_nquad textfalls xb cases für x in ab. Nach Definition von m_k M_k für k in ...n gilt daher u leq f leq o. Des Weiteren ist _a^b o-uddx _k^n M_k-m_kx_k-x_k- epsilon _k^n x_k-x_k- epsilon b-a. Da epsilon beliebig war und b-a fix ist zeigt dies mittels Proposition . dass f R-bar ist.
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Exercise:
Eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ab mit a b ist R-bar.

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Beweis. Sei f in Cab und epsilon . Nach Satz . ist f gleichmässig stetig und es gibt ein delta s.d. für alle xy in ab gilt |x-y| delta Longrightarrow |fx-fx_| epsilon. Sei zeta ax_ x_ ... x_nb eine Zerlegung von ab mit textmax_k...n |x_k-x_k-| delta Zum Beispiel kann man die Zerlegung durch x_k a+kfracb-an für k...n und ein hinreich grosses n in mathbbN definieren. Man definiert für jedes k in ...n die Zahlen m_k textmin f|x_k- x_k| M_k textmax f|x_k- x_k| wobei man Korollar . für die Existenz von Minimum un Maximum verwet. Man behauptet nun dass für alle k in ...n M_k-m_k epsilon gilt. In der Tat ist m_k fz_min und M_k fz_max für z_min z_max in x_k- x_k. Da aber x_k-x_k- delta ist hat man auch |z_min-z_max| delta. Auf Grund der Wahl von delta mit erhält man also die Behauptung M_k-m_k fz_max-fz_min epsilon. Man definiert nun Treppenfunktionen uo durch ux cases m_kquad textfalls x in x_k- x_k textfür k in ...n m_n textfalls x bcases ox cases M_kquad textfalls x in x_k- x_k textfür k in ...n M_nquad textfalls xb cases für x in ab. Nach Definition von m_k M_k für k in ...n gilt daher u leq f leq o. Des Weiteren ist _a^b o-uddx _k^n M_k-m_kx_k-x_k- epsilon _k^n x_k-x_k- epsilon b-a. Da epsilon beliebig war und b-a fix ist zeigt dies mittels Proposition . dass f R-bar ist.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, proof, riemann, stetig
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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