Stetige Funktionen und das Riemann-Integral
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
No explanation / solution video to this exercise has yet been created.
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Exercise:
Eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ab mit a b ist R-bar.
Solution:
Beweis. Sei f in Cab und epsilon . Nach Satz . ist f gleichmässig stetig und es gibt ein delta s.d. für alle xy in ab gilt |x-y| delta Longrightarrow |fx-fx_| epsilon. Sei zeta ax_ x_ ... x_nb eine Zerlegung von ab mit textmax_k...n |x_k-x_k-| delta Zum Beispiel kann man die Zerlegung durch x_k a+kfracb-an für k...n und ein hinreich grosses n in mathbbN definieren. Man definiert für jedes k in ...n die Zahlen m_k textmin f|x_k- x_k| M_k textmax f|x_k- x_k| wobei man Korollar . für die Existenz von Minimum un Maximum verwet. Man behauptet nun dass für alle k in ...n M_k-m_k epsilon gilt. In der Tat ist m_k fz_min und M_k fz_max für z_min z_max in x_k- x_k. Da aber x_k-x_k- delta ist hat man auch |z_min-z_max| delta. Auf Grund der Wahl von delta mit erhält man also die Behauptung M_k-m_k fz_max-fz_min epsilon. Man definiert nun Treppenfunktionen uo durch ux cases m_kquad textfalls x in x_k- x_k textfür k in ...n m_n textfalls x bcases ox cases M_kquad textfalls x in x_k- x_k textfür k in ...n M_nquad textfalls xb cases für x in ab. Nach Definition von m_k M_k für k in ...n gilt daher u leq f leq o. Des Weiteren ist _a^b o-uddx _k^n M_k-m_kx_k-x_k- epsilon _k^n x_k-x_k- epsilon b-a. Da epsilon beliebig war und b-a fix ist zeigt dies mittels Proposition . dass f R-bar ist.
Eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ab mit a b ist R-bar.
Solution:
Beweis. Sei f in Cab und epsilon . Nach Satz . ist f gleichmässig stetig und es gibt ein delta s.d. für alle xy in ab gilt |x-y| delta Longrightarrow |fx-fx_| epsilon. Sei zeta ax_ x_ ... x_nb eine Zerlegung von ab mit textmax_k...n |x_k-x_k-| delta Zum Beispiel kann man die Zerlegung durch x_k a+kfracb-an für k...n und ein hinreich grosses n in mathbbN definieren. Man definiert für jedes k in ...n die Zahlen m_k textmin f|x_k- x_k| M_k textmax f|x_k- x_k| wobei man Korollar . für die Existenz von Minimum un Maximum verwet. Man behauptet nun dass für alle k in ...n M_k-m_k epsilon gilt. In der Tat ist m_k fz_min und M_k fz_max für z_min z_max in x_k- x_k. Da aber x_k-x_k- delta ist hat man auch |z_min-z_max| delta. Auf Grund der Wahl von delta mit erhält man also die Behauptung M_k-m_k fz_max-fz_min epsilon. Man definiert nun Treppenfunktionen uo durch ux cases m_kquad textfalls x in x_k- x_k textfür k in ...n m_n textfalls x bcases ox cases M_kquad textfalls x in x_k- x_k textfür k in ...n M_nquad textfalls xb cases für x in ab. Nach Definition von m_k M_k für k in ...n gilt daher u leq f leq o. Des Weiteren ist _a^b o-uddx _k^n M_k-m_kx_k-x_k- epsilon _k^n x_k-x_k- epsilon b-a. Da epsilon beliebig war und b-a fix ist zeigt dies mittels Proposition . dass f R-bar ist.
Meta Information
Exercise:
Eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ab mit a b ist R-bar.
Solution:
Beweis. Sei f in Cab und epsilon . Nach Satz . ist f gleichmässig stetig und es gibt ein delta s.d. für alle xy in ab gilt |x-y| delta Longrightarrow |fx-fx_| epsilon. Sei zeta ax_ x_ ... x_nb eine Zerlegung von ab mit textmax_k...n |x_k-x_k-| delta Zum Beispiel kann man die Zerlegung durch x_k a+kfracb-an für k...n und ein hinreich grosses n in mathbbN definieren. Man definiert für jedes k in ...n die Zahlen m_k textmin f|x_k- x_k| M_k textmax f|x_k- x_k| wobei man Korollar . für die Existenz von Minimum un Maximum verwet. Man behauptet nun dass für alle k in ...n M_k-m_k epsilon gilt. In der Tat ist m_k fz_min und M_k fz_max für z_min z_max in x_k- x_k. Da aber x_k-x_k- delta ist hat man auch |z_min-z_max| delta. Auf Grund der Wahl von delta mit erhält man also die Behauptung M_k-m_k fz_max-fz_min epsilon. Man definiert nun Treppenfunktionen uo durch ux cases m_kquad textfalls x in x_k- x_k textfür k in ...n m_n textfalls x bcases ox cases M_kquad textfalls x in x_k- x_k textfür k in ...n M_nquad textfalls xb cases für x in ab. Nach Definition von m_k M_k für k in ...n gilt daher u leq f leq o. Des Weiteren ist _a^b o-uddx _k^n M_k-m_kx_k-x_k- epsilon _k^n x_k-x_k- epsilon b-a. Da epsilon beliebig war und b-a fix ist zeigt dies mittels Proposition . dass f R-bar ist.
Eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ab mit a b ist R-bar.
Solution:
Beweis. Sei f in Cab und epsilon . Nach Satz . ist f gleichmässig stetig und es gibt ein delta s.d. für alle xy in ab gilt |x-y| delta Longrightarrow |fx-fx_| epsilon. Sei zeta ax_ x_ ... x_nb eine Zerlegung von ab mit textmax_k...n |x_k-x_k-| delta Zum Beispiel kann man die Zerlegung durch x_k a+kfracb-an für k...n und ein hinreich grosses n in mathbbN definieren. Man definiert für jedes k in ...n die Zahlen m_k textmin f|x_k- x_k| M_k textmax f|x_k- x_k| wobei man Korollar . für die Existenz von Minimum un Maximum verwet. Man behauptet nun dass für alle k in ...n M_k-m_k epsilon gilt. In der Tat ist m_k fz_min und M_k fz_max für z_min z_max in x_k- x_k. Da aber x_k-x_k- delta ist hat man auch |z_min-z_max| delta. Auf Grund der Wahl von delta mit erhält man also die Behauptung M_k-m_k fz_max-fz_min epsilon. Man definiert nun Treppenfunktionen uo durch ux cases m_kquad textfalls x in x_k- x_k textfür k in ...n m_n textfalls x bcases ox cases M_kquad textfalls x in x_k- x_k textfür k in ...n M_nquad textfalls xb cases für x in ab. Nach Definition von m_k M_k für k in ...n gilt daher u leq f leq o. Des Weiteren ist _a^b o-uddx _k^n M_k-m_kx_k-x_k- epsilon _k^n x_k-x_k- epsilon b-a. Da epsilon beliebig war und b-a fix ist zeigt dies mittels Proposition . dass f R-bar ist.
Contained in these collections
| Title | Creator | Matched on |
|---|---|---|
| Stetigkeit unter Addition und Multiplikation stetiger Funktionen | rk | tags |
| Beschränktheit | rk | tags |
| Sandwich-Kriterium mit stetigen Funktionen | rk | tags |
| Riemann-Integral über Riemann-Summen | rk | tags |
| Unabhängigkeit von Zerlegung in Konstanzintervalle | rk | tags |

