Exercise:
Es gilt dass f in mathcalFac genau dann R-bar ist wenn f_ und f_ R-bar sind. In diesem Fall ist _a^c fxddx _a^b f_xddx+_b^c f_xddx

Solution:
Beweis. Man verifiziert zuerst die behauptete Formel für Treppenfunktionen. Dazu betrachtet man eine Treppenfunktion t auf ac und eine Zerlegung in Konstanzervalle von t zeta ax_ x_ ... x_nc Dabei darf man wegen Lemma . o.B.d.A. annehmen dass x_mb für ein m in ...n- . Für k in ...n sei c_k der Konstanzwert von t auf x_k-x_k. Dann gilt _a^b tx ddx _k^n c_kDelta x_k _k^m c_kDelta x_k + _km+^n c_kDelta x_k _a^b t|_abx ddx+_b^c t|_bcx ddx Sei f in mathcalFac eine Funktion und definiere f_ f|_ab f_ f|_bc. Gegeben u in mathcalTFac mit u leq f kann man ebenso u_ u|_ab u_ u|_bc definieren. Es gilt u_ leq f_ und u_ leq f_. Wegen obiger Gleichung erhält man dass _a^c ux ddx _a^b u_x ddx + _b^c u_x ddx was wiederum mathcalUf subseteq mathcalUf_+mathcalUf_ zur Folge hat. Umgekehrt kann man gegeben Treppenfunktionen u_ u_ mit u_ leq f_ u_ leq f_ eine Treppenfunktion u auf ac definieren die ebenso u leq f und Gleichung erfüllt. Dadurch ist mathcalUf mathcalUf_+mathcalUf_ und wegen Additionseigenschaft des Supremums in Proposition . gilt underlineIf underlineIf_+underlineIf_. Analog zeigt man dass overlineIf overlineIf_+overlineIf_. Ist nun f R-bar dann ist underlineIf_+underlineIf_underlineIf overlineIf overlineIf_+overlineIf_ geq overlineIf_+underlineIf_ geq underlineIf_+underlineIf_ Überall in dieser Kette von Ungleichungen gilt also Gleichheit. Somit ist overlineIf_underlineIf_ und dadurch auch overlineIf_underlineIf_. Das heisst dass f_ und f_ R-bar sind und Gleichung wird zur gewünschten Additionseigenschaft für das Riemann-Integral. Falls f_ f_ R-bar sind gilt underlineIfoverlineIf und die Additionseigenschaft.