Exercise:
Eine Funktion f in mathcalFab auf einem kompakten Intervall ab mit a b ist genau dann R-bar wenn für alle epsilon stetige Funktionen f_+ f_- existieren mit f_- leq f leq f_+ und _a^b f_+-f_- ddx epsilon. Vorstellen!

Solution:
Beweis. Angenommen es existieren zu jedem epsilon stetige Funktionen f_+ f_- wie in der Proposition. Sei epsilon und man wähle stetige Funktionen f_+ und f_- mit f_- leq f leq f_+ und _a^b f_+-f_- ddx epsilon. Da f_+ als stetige Funktion nach Satz . R-bar ist so existiert eine Treppenfunktion o in mathcalTFab mit f_+ leq o und _a^b o-f_+ ddx epsilon. Genauso existiert u in mathcalTFab mit u leq f_- und _a^b f_- - u ddx epsilon. Zusammenfass gilt u leq f_- leq f leq f_+ leq o sowie nach Linearität _a^b o-u ddx _a^b o-f_+ ddx + _a^b f_+ - f_- ddx + _a^b f_- -u ddx epsilon. Da epsilon beliebig war beweist dies mit Hilfe von Proposition . die erste einfachere Richtung der Proposition. Man beweist nun die verbleibe Richtung und nimmt dazu zuerst an dass t eine Treppenfunktion ist. Sei zeta ax_ x_ ... x_nb eine Zerlegung in Konstanzervalle für t und seien c_...c_n die Konstanzwerte. Man konstruiert eine stetige Funktion t_+:ab rightarrow mathbbR mit t leq t_+ und _a^b t_+-t ddx epsilon. Wet man dies nun auf -t an so lässt sich analog eine stetige Funktion t_- auf ab mit t_- leq f und _a^b t-t_- ddx epsilon finden. Sei delta mit delta frac textmin|x_k-x_k-|:k in ...n vorerst beliebig. Da t eine Treppenfunktion ist existieren m textmab und M textmaxtab. Zur formalen Definition von t_+ verwet man die Zerlegung zeta ax_ ... x_nb die Konstanzwerte c_...c_n von t und für alle x in ab die Fallunterscheidung cases M+c_k-Mfracx-x_k-deltaquad textfalls x in x_k- x_k-+delta c_kquad textfalls x in x_k-+delta x_k-delta M+c_k-Mfracx_k-xdeltaquad textfalls x in x_k-delta x_k Mquad textfalls xbcases wobei k in ...n beliebig ist und die verschiedenen Fälle auf Grund unserer Wahl von delta disjunkt sind. Aus Korollar . und mehrfacher Anwednung von Übung . folt dass t_+ stetig ist. Dank der Definition von m und M ist auch m leq t leq t_+ leq M. Weiter gilt für jedes Konstanzervall x_k- x_k dass t_+xtxc_k für alle x in x_k- x_k mit Distanz grösser als delta von den Randpunkten x_k- x_k. Insbesondere ist _x_k-^x_k t_+ x-tx ddx _x_k-^x_k-+delta t_+ x-c_k ddx + _x_k-delta^x_k t_+ x-c_k ddx &leq M-mdelta + M-mdelta M-mdelta und damit _a^b t_+ x-tx ddx &leq _k^n _x_k-^x_k t_+ x-tx ddx leq M-mdelta n Wählt man nun delta fracepsilonM-mn so ist M-mdelta n epsilon. Daher hat die stetige funktion t_+ alle gewünschten Eigenschaften. Sei nun f eine beliebige R-bare Funktion und sei epsilon . Nach Proposition . existieren Treppenfunktionen uo in mathcalTFab mit u leq f leq o und _a^b o-u ddx epsilon. Seien u_- o_+ in Cab wie oben konstruiert mit u_- leq u o leq o_+ _a^b u-u_- ddx epsilon und _a^b o_+-o ddx epsilon. Die stetigen Funktionen f_- u_- und f_+o_+ erfüllen damit f_- leq f leq f_+ und _a^b f_+-f_- ddx epsilon. Da epsilon beliebig war hat man damit die zweite Implikation der Proposition gezeigt.