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Exercise:
Beweisen Sie: textsupA cup B textmaxtextsupAtextsupB

Solution:
Beweis. Ist x in A cup B so ist x in A oder x in B. Nach der ersten Supremumsbedingung gilt somit xleq textsupA oder xleq textsupB. Also insbesondere xleq textmaxtextsupAtextsupB. Damit ist textmaxtextsupAtextsupB eine obere Schranke von A cup B. Weiter gilt immer textsupA leq textsupB oder textsupB leq textsupA. Man gehe o.B.d.A vom ersten Fall aus ansonsten einfach Mengen umdrehen. Dann gilt für alle x in A wegen der ersten Supremumsbedingung x leq textsupA und wegen textsupA leq textsupB auch x leq textsupB. Somit ist textsupB eine obere Schranke von A und nach Definition auch von B also von A cup B. Dass es die bf kleinste obere Schranke ist folgt aus der zweiten Bedingung des Supremums. Jede kleinere Zahl stellt keine obere Schranke von B dar also auch keine obere Schranke von A cup B.
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Exercise:
Beweisen Sie: textsupA cup B textmaxtextsupAtextsupB

Solution:
Beweis. Ist x in A cup B so ist x in A oder x in B. Nach der ersten Supremumsbedingung gilt somit xleq textsupA oder xleq textsupB. Also insbesondere xleq textmaxtextsupAtextsupB. Damit ist textmaxtextsupAtextsupB eine obere Schranke von A cup B. Weiter gilt immer textsupA leq textsupB oder textsupB leq textsupA. Man gehe o.B.d.A vom ersten Fall aus ansonsten einfach Mengen umdrehen. Dann gilt für alle x in A wegen der ersten Supremumsbedingung x leq textsupA und wegen textsupA leq textsupB auch x leq textsupB. Somit ist textsupB eine obere Schranke von A und nach Definition auch von B also von A cup B. Dass es die bf kleinste obere Schranke ist folgt aus der zweiten Bedingung des Supremums. Jede kleinere Zahl stellt keine obere Schranke von B dar also auch keine obere Schranke von A cup B.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, proof, supremum
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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