Exercise:
Die Einschränkung einer reellen Polynomfunktion auf ab ist R-bar. Für alle Monome x^d mit d in mathbbN_ gilt _a^b x^d ddx fracd+left b^d+-a^d+right

Solution:
Beweis. Dass Polynomfunktionen eingeschränkt auf ab R-bar sind folgt wie schon zuvor diskutiert aus der Linearität des Riemann-Integrals Satz . und der R-Intbarkeit von stückweise montonen Funktionen. Die zweite Aussage behandelt man hier nur im Spezialfall a b. Der Spezialfall a b ist analog und die allgemeine Aussage ergibt sich aus diesen beiden Spezialfällen und Satz .. Da x in b mapsto x^d in mathbbR monoton wachs ist kann man dieselbe Methode wie im Beweis von Satz . verwen. Sei also n in mathbbN und uo Treppenfunktionen auf b mit Zerlegung in Konstanzervalle zeta x_ x_ ... x_n wobei x_k fracknb für k in ...n und Konstanzwert x_k-^d respektive x_k^d auf x_k-x_k für k in ...n. Es ergibt sich _k^n- leftfracknbright^dfracbn leq _k^n leftfracknbright^dfracbn oder äquivalent fracb^d+n^d+_k^n-k^d leq _^b x^d ddx leq fracb^d+n^d+_k^n k^d Nach Proposition . gilt _k^n k^d leq fracn^d+d++c_dn^d+c_d-n^d-+...+c_ für gewisse Koeffizienten c_d...c_ in mathbbQ. Damit möchte man die linke und die rechte Summe in nach unten resp. nach oben abschätzen. Man erhält für die Summe auf der rechten Seite _k^n k^d &leq fracn^d+d+ + |c_d|n^d + |c_d+|n^d++...+|c_| &leq fracn^d+d+ + |c_d|+|c_d+|+...+|c_|n^d. Für Summe auf der linken Seite erhält man analog _k^n- k^d _k^n k^d -n^d fracn^d+d+ + c_d-n^d + c_d+n^d++...+c_ &geq fracn^d+d+ - |c_d-|n^d-|c_d+|n^d--...-|c_| &geq fracn^d+d+ - |c_d-|+|c_d+|+...+|c_|n^d Man definiert c_- |c_d-|+|c_d-|+...+|c_| c_+ |c_d|+|c_d-|+...+|c_| und setzt die oben erhaltenen Ungleichungen mit zusammen. Man erhält fracb^d+d+ - fracc_-b^d+n leq _^b x^d ddx leq fracb^d+d+ + fracc_+b^d+n. Aus Archimedischem Prinzip Satz . folgt nun dass _^b x^d ddx fracb^d+d+