Exercise:
Sei ab ein kompaktes Intervall für a b und f:abrightarrow mathbbC eine stetige Funktion. Dann ist f gleichmässig stetig.

Solution:
Beweis. Sei epsilon . Man definiere die Teilmenge X left t in ab | exists delta forall x_ x_ in at:|x_-x_| delta Longrightarrow |fx_-fx_| epsilon right von ab. In Worten ausgedrückt ist X die Menge der Endpunkte t in ab für die ein uniformes delta existiert für die Einschränkung f|_at. Man möchte zeigen dass b in X liegt. Man bemerkt zuerst dass a in X da für x_x_ in aa a sogar |fx_-fx_| gilt und somit jedes delta gewählt werden kann. Also ist X nicht-leer. Da X in ab enthalten ist und somit beschränkt ist existiert nach Satz . Supremum das Supremum s_textsupX von X. Man bemerke zuerst dass t in X und t' in at auch t' in X impliziert. Daher gelten die Inklusionen as_subseteq X subseteq as_ Man behauptet nun dass s_b in X gilt. Nach Stetigkeit von f bei s_ in ab existiert ein delta_ s.d. für alle x in ab die Implikation |x-s_| delta_ Longrightarrow |fx-fs_| fracepsilon gilt. Für x_x_ in abcaps_-delta_s_+delta_ gilt damit nach der Dreiecksungleichung |fx_-fx_| leq |fx_-fs_|+|fs_-fx_| fracepsilon + fracepsilon epsilon Auf Grund von liegt t_textmaxas_-fracdelta_ in X und daher existiert ein delta_ mit forall x_x_ in at_:|x_-x_| delta_ Longrightarrow |fx_-fx_| epsilon. Man definiere t_textminbs_+fracdelta_ sowie deltatextmindelta_fracdelta_ und und behaupte dass für diese Zahlen forall x_x_ in at_:|x_-x_| delta Longrightarrow |fx_-fx_| epsilon. gilt. Für den Beweis dieser Behauptung nimmt man also Punkte x_x_ in at_ mit |x_-x_| delta. Man unterscheidet zwei Fälle: itemize item Angenommen |x_-s_|leq fracdelta_ oder |x_-s_|leq fracdelta_. Man gehe o.B.d.A. vom ersten Fall aus. Dann gilt nach der Dreiecksungleichung |x_-s_|leq |x_-x_|+|x_-s_| delta + fracdelta_ leq fracdelta_ + fracdelta_ delta_ und somit |fx_-fx_| epsilon nach . item Angenommen |x_-s_| fracdelta_ und |x_-s_| fracdelta_. Da auch x_j leq t_ leq s_ + fracdelta_ für j in und insbesondere x_x_ in at_. Nach Gleichung gilt also auch in diesem Fall |fx_-fx_| epsilon. Dies beweist die Behauptung womit auch t_ in X gilt. Da aber s_ das Supremum von X ist und kleiner gleich t_ textminbs_+fracdelta_ ist muss t_s_ sein. Dies ist per Definition von t_ aber nur dann möglich wenn s_ b ist womit man bs_t_ in X gezeigt hat. D.h. für epsilon existiert ein delta welches für alle x_x_ in ab die Implikation |x_-x_| delta Longrightarrow |fx_-fx_| epsilon erfüllt. Da epsilon beliebig war beweist dies die gleichmässige stetigkeit von f. itemize